A B. 5523. feladat (2026. március)

B. 5523. Legfeljebb hány különböző egész gyöke lehet az egész együtthatós \(\displaystyle p(x)=a_{12} x^{12}+a_{11} x^{11}+\ldots+a_2 x^2+a_1 x+a_0\) polinomnak, ha

\(\displaystyle a_0+a_2+a_4+a_6+a_8+a_{10}+a_{12}=0 \quad \text{és} \quad a_1+a_3+a_5+a_7+a_9+a_{11} =12? \)

Javasolta: Sztranyák Attila (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2026. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyenek \(\displaystyle p\) polinom különböző egész gyökei \(\displaystyle x_1,\dots,x_k\). A \(\displaystyle p(x)\) egész együtthatós polinomot az 1 főegyütthatójú \(\displaystyle (x-x_1)\cdots(x-x_k)\) polinommal elosztva az egész együtthatós \(\displaystyle q(x)\) polinomot kapjuk, ekkor tehát

\(\displaystyle p(x)=(x-x_1)\cdots(x-x_k)q(x).\)

A megadott feltételek alapján \(\displaystyle p(1)=0+12=12\) és \(\displaystyle p(-1)=0-12=-12\), ezért

\(\displaystyle (1-x_1)\cdots(1-x_k)q(1)=12\)

és

\(\displaystyle (-1-x_1)\cdots(-1-x_k)q(-1)=-12.\)

A \(\displaystyle \pm 1-x_i\) számok és \(\displaystyle q(1),q(-1)\) is mind egészek, így a 12 osztói. Az \(\displaystyle 1-x_i\) ráadásul olyan osztója a 12-nek, amiből 2-t levonva szintén a 12 egy osztóját kapjuk, így \(\displaystyle 1-x_i\) értéke lehet: \(\displaystyle 6,4,3,1,-1,-2,-4\). Ekkor \(\displaystyle x_i\) értéke rendre: \(\displaystyle -5,-3,-2,0,2,3,5\).

Amikor \(\displaystyle x_i\) páratlan, akkor \(\displaystyle 8\mid (1-x_i)(-1-x_i)\), hiszen mindkét tényező páros és az egyik 4-gyel is osztható. Így legfeljebb egy \(\displaystyle x_i\) gyök lehet páratlan, hiszen \(\displaystyle -p(1)p(-1)=12^2=2^4\cdot 3^2\) nem osztható \(\displaystyle 8^2=2^6\)-nal. Tehát \(\displaystyle k\leq 4\), és \(\displaystyle k=4\) csak úgy lehetséges, ha az egész gyökök \(\displaystyle -2,0,2\) és még a \(\displaystyle -5,-3,3,5\) számok valamelyike. Páratlan \(\displaystyle x_i\) (vagyis \(\displaystyle x_i\in\{-5,-3,3,5\}\)) esetén \(\displaystyle 1-x_i\) és \(\displaystyle -1-x_i\) közül az egyik 1, a másik 2 darab 2-es prímtényezőt tartalmaz (a 4-gyel osztható mindig \(\displaystyle \pm4\), a másik pedig \(\displaystyle \pm2\) vagy \(\displaystyle \pm6\)), páros \(\displaystyle x_i\) esetén pedig \(\displaystyle 1-x_i\) és \(\displaystyle 1+x_i\) is páratlanok. Ezért \(\displaystyle k=4\) esetén \(\displaystyle q(1)\) és \(\displaystyle q(-1)\) közül az egyik páratlan, a másik pedig páros kellene, hogy legyen, hiszen a \(\displaystyle \pm12\)-ben két darab 2-es tényező szerepel. Ez viszont lehetetlen, hiszen a \(\displaystyle q\) polinom egész együtthatós, így \(\displaystyle 2\mid q(1)-q(-1)\). Tehát \(\displaystyle k=4\) nem lehetséges, és ezért \(\displaystyle k\leq 3\).

Az előző gondolatmenetből az is következik, hogy \(\displaystyle k=3\) esetén a három különböző egész gyök szükségképpen \(\displaystyle -2,0,2\). Ekkor \(\displaystyle (1-x_1)(1-x_2)(1-x_3)=-3\) és \(\displaystyle (-1-x_1)(-1-x_2)(-1-x_3)=3\), és így \(\displaystyle q(1)=q(-1)=-4\) kell legyen.

Mivel \(\displaystyle p\) foka legfeljebb 12, így \(\displaystyle q\) foka legfeljebb \(\displaystyle 12-3=9\) lehet. Ilyen egész együtthatós \(\displaystyle q\) polinom létezik, például a \(\displaystyle q(x)\equiv -4\) konstans polinom megfelelő. Ekkor \(\displaystyle p(x)=-4(x-2)x(x+2)=-4x^3+16x\), amire a feltételek valóban teljesülnek, hiszen \(\displaystyle a_1=16,\ a_3=-4,\ a_0=a_2=a_5=a_6=\dots=a_{12}=0\).

Tehát a \(\displaystyle p\) polinomnak legfeljebb három különböző egész gyöke lehet.

Statisztika:

34 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Ali Richárd, Bao Nguyen Gia, Baranyi Ernő, Bodó Rókus Dániel, Bodor Ádám, Budai Máté, Diaconescu Tashi, Ercse Ferenc, Fajszi Horka, Hajba Milán, Hideg János, Li Mingdao, Miszori Márton, Papp Mátyás, Pázmándi József Áron, Péter Hanna, Rajtik Sándor Barnabás, Sajter Klaus, Sógor-Jász Soma, Szabó-Caceres Alan Martin, Szemán Gergő, Vincze Marcell, Vödrös Dániel László, Wiener Marcell, Winkler-Antal Dalma.
4 pontot kapott:	Várhegyi Hanna.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2026. márciusi matematika feladatai