A B. 5524. feladat (2026. március)

B. 5524. Az \(\displaystyle ABC\) háromszögben \(\displaystyle F\) a \(\displaystyle BC\) oldal felezőpontja. Egy egyenes az \(\displaystyle AB\), \(\displaystyle AC\), \(\displaystyle AF\) szakaszokat rendre az \(\displaystyle X\), \(\displaystyle Y\), \(\displaystyle Z\) pontokban metszi. Bizonyítsuk be, hogy

\(\displaystyle AB \cdot AX+AC \cdot AY > 2AF \cdot AZ. \)

Javasolta: Szakács Ábel (Budapest)

(6 pont)

A beküldési határidő 2026. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás.

Legyen \(\displaystyle \overrightarrow{AB} = \mathbf{b}\) és \(\displaystyle \vec{AC} = \mathbf{c}\), ekkor persze \(\displaystyle \overrightarrow{AF} = (\mathbf{b} + \mathbf{c})/2\).

Legyen továbbá \(\displaystyle \overrightarrow{AX} = x\mathbf{b}\) és \(\displaystyle \overrightarrow{AY} = y\mathbf{c}\). Egyrészt \(\displaystyle X,Y\) és \(\displaystyle Z\) kollineáris, így valamilyen \(\displaystyle t\) valós számra

\(\displaystyle \overrightarrow{AZ} = t \overrightarrow{AX} + (1-t) \overrightarrow{AY} = tx \mathbf{b} + (1-t)y \mathbf{b}. \)

Másrészt mivel \(\displaystyle Z\) az \(\displaystyle AF\) egyenesen van, ezért \(\displaystyle tx = (1-t)y\), amiből \(\displaystyle t = \frac{y}{x+y}\), \(\displaystyle 1-t = \frac{y}{x+y}\) és így

\(\displaystyle \overrightarrow{AZ} = \frac{xy}{x+y}(\mathbf{b}+\mathbf{c}). \)

Tehát a bizonyítandó egyenlőtlenség így írható fel a skaláris szorzat segítségével (a \(\displaystyle \mathbf{v}^2\) jelölés – a szokásos módon – a \(\displaystyle \mathbf{v}\) vektor önmagával vett skaláris szorzatát, azaz hosszának négyzetét jelenti).

\(\displaystyle x \mathbf{b}^2 + y \mathbf{c}^2 > \frac{xy}{x+y} \left( \mathbf{b}+ \mathbf{c} \right)^2. \)

Átrendezve (a skaláris szorzat algebrai tulajdonságait felhasználva):

\(\displaystyle (x+y) \left( x \mathbf{b}^2 + y \mathbf{c}^2 \right) > xy (\mathbf{b}^2+ \mathbf{c}^2 + 2\mathbf{b} \mathbf{c}), \)

azaz

\(\displaystyle x^2 \mathbf{b}^2 + y^2 \mathbf{c}^2 > 2 x y \mathbf{b} \mathbf{c}, \)

avagy

\(\displaystyle (x \mathbf{b} - y \mathbf{c})^2 > 0. \)

Ez pedig minden \(\displaystyle x,y,\mathbf{b},\mathbf{c}\) esetén teljesül, hiszen \(\displaystyle \mathbf b\) és \(\displaystyle \mathbf c\) vektorok nem párhuzamosak, így \(\displaystyle x \mathbf{b} - y \mathbf{c}\neq \mathbf 0\).

Statisztika:

A B. 5524. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2026. márciusi matematika feladatai