 |
A B. 5524. feladat (2026. március) |
B. 5524. Az \(\displaystyle ABC\) háromszögben \(\displaystyle F\) a \(\displaystyle BC\) oldal felezőpontja. Egy egyenes az \(\displaystyle AB\), \(\displaystyle AC\), \(\displaystyle AF\) szakaszokat rendre az \(\displaystyle X\), \(\displaystyle Y\), \(\displaystyle Z\) pontokban metszi. Bizonyítsuk be, hogy
\(\displaystyle AB \cdot AX+AC \cdot AY > 2AF \cdot AZ. \)
Javasolta: Szakács Ábel (Budapest)
(6 pont)
A beküldési határidő 2026. április 10-én LEJÁRT.
Megoldás.
Legyen \(\displaystyle \overrightarrow{AB} = \mathbf{b}\) és \(\displaystyle \vec{AC} = \mathbf{c}\), ekkor persze \(\displaystyle \overrightarrow{AF} = (\mathbf{b} + \mathbf{c})/2\).
Legyen továbbá \(\displaystyle \overrightarrow{AX} = x\mathbf{b}\) és \(\displaystyle \overrightarrow{AY} = y\mathbf{c}\). Egyrészt \(\displaystyle X,Y\) és \(\displaystyle Z\) kollineáris, így valamilyen \(\displaystyle t\) valós számra
\(\displaystyle \overrightarrow{AZ} = t \overrightarrow{AX} + (1-t) \overrightarrow{AY} = tx \mathbf{b} + (1-t)y \mathbf{b}. \)
Másrészt mivel \(\displaystyle Z\) az \(\displaystyle AF\) egyenesen van, ezért \(\displaystyle tx = (1-t)y\), amiből \(\displaystyle t = \frac{y}{x+y}\), \(\displaystyle 1-t = \frac{y}{x+y}\) és így
\(\displaystyle \overrightarrow{AZ} = \frac{xy}{x+y}(\mathbf{b}+\mathbf{c}). \)
Tehát a bizonyítandó egyenlőtlenség így írható fel a skaláris szorzat segítségével (a \(\displaystyle \mathbf{v}^2\) jelölés – a szokásos módon – a \(\displaystyle \mathbf{v}\) vektor önmagával vett skaláris szorzatát, azaz hosszának négyzetét jelenti).
\(\displaystyle x \mathbf{b}^2 + y \mathbf{c}^2 > \frac{xy}{x+y} \left( \mathbf{b}+ \mathbf{c} \right)^2. \)
Átrendezve (a skaláris szorzat algebrai tulajdonságait felhasználva):
\(\displaystyle (x+y) \left( x \mathbf{b}^2 + y \mathbf{c}^2 \right) > xy (\mathbf{b}^2+ \mathbf{c}^2 + 2\mathbf{b} \mathbf{c}), \)
azaz
\(\displaystyle x^2 \mathbf{b}^2 + y^2 \mathbf{c}^2 > 2 x y \mathbf{b} \mathbf{c}, \)
avagy
\(\displaystyle (x \mathbf{b} - y \mathbf{c})^2 > 0. \)
Ez pedig minden \(\displaystyle x,y,\mathbf{b},\mathbf{c}\) esetén teljesül, hiszen \(\displaystyle \mathbf b\) és \(\displaystyle \mathbf c\) vektorok nem párhuzamosak, így \(\displaystyle x \mathbf{b} - y \mathbf{c}\neq \mathbf 0\).
Statisztika:
33 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: Ali Richárd, Balla Ignác , Bao Nguyen Gia, Benedek Olivér , Bodor Ádám, Budai Máté, Diaconescu Tashi, Hajszter Dóra, Hideg János, József Áron, Li Mingdao, Miszori Márton, Papp Mátyás, Pázmándi József Áron, Rajtik Sándor Barnabás, Sajter Klaus, Sánta Gergely Péter, Tóth László Pál, Varsányi Benedek, Vincze Marcell, Weng Chenxin, Wiener Marcell. 5 pontot kapott: Ercse Ferenc, Gál Mózes, Sha Jingyuan, Szemán Gergő. 4 pontot kapott: 2 versenyző. 3 pontot kapott: 1 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző. 0 pontot kapott: 2 versenyző.
A KöMaL 2026. márciusi matematika feladatai