A B. 5525. feladat (2026. március)

B. 5525. Egy \(\displaystyle T\) tetraéder \(\displaystyle e\) élére definiáljuk az \(\displaystyle r(e)\) mennyiséget mint az \(\displaystyle e\) két csúcsából induló magasságvonalak távolságának és az \(\displaystyle e\) él hosszának arányát. Adjuk össze az \(\displaystyle r(e)\) mennyiségeket \(\displaystyle T\) minden élére, így kapjuk az \(\displaystyle R(T)\) számot. Adjunk példát olyan \(\displaystyle T\) tetraéderre, amelyre \(\displaystyle R(T)>5{,}999\).

Bertalan Zoltán (Békéscsaba) ötletéből

(6 pont)

A beküldési határidő 2026. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Keressünk példát az egyenlő oldalú tetraéderek között. (Egy tetraéder egyenlő oldalú, ha lapjai egybevágóak. Ez pontosan akkor teljesül, ha a tetraéder bennfoglaló paralelepipedonja téglatest.)

A bennfoglaló téglatest éleit jelölje \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) és \(\displaystyle z\), és válasszuk úgy a koordináta-rendszert, hogy a keresett \(\displaystyle T\) négy csúcsának koordinátái \(\displaystyle A(x,0,0)\), \(\displaystyle B(0,y,0)\), \(\displaystyle C(0,0,z)\) és \(\displaystyle D(x,y,z)\) legyenek. Ekkor a tetraéder éleire a Pitagorasz-tétel szerint \(\displaystyle e^2=x^2+y^2\), \(\displaystyle f^2=x^2+z^2\) és \(\displaystyle g^2=y^2+z^2\) teljesül.

Számítsuk most ki az \(\displaystyle e=AB\) élre az \(\displaystyle r(e)\) mennyiséget \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) és \(\displaystyle z\) függvényében. Vektoriális szorzás segítségével írjuk fel az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) csúcsokból induló magasságok egy-egy irányvektorát:

\(\displaystyle \mathbf v_{A}=\overrightarrow{BD}\times \overrightarrow{CD}=(x,0,z)\times(x,y,0)=(-yz, xz, xy) \quad \text{és} \quad \mathbf v_{B}=\overrightarrow{AD}\times \overrightarrow{CD}=(0,y,z)\times(x,y,0)=(-yz, xz, -xy). \)

Ezekből meghatározhatjuk a magasságvonalak normáltranszverzálisának irányvektorát:

\(\displaystyle \mathbf n= \mathbf v_{A} \times \mathbf v_{B}= (-yz, xz, xy) \times (-yz, xz, -xy)=(-2x^2yz,-2xy^2z,0).\)

Végül a magasságvonalak távolságát skalárszorzás segítségével írhatjuk fel:

\(\displaystyle d(m_A, m_B)= \frac{\left | \langle \mathbf n, \overrightarrow{AB}\rangle \right |}{|\mathbf n|} = \frac{-x\cdot -2x^2yz+y\cdot -2xy^2z}{\sqrt{4x^4y^2z^2-4x^2y^4z^2}}=\frac{2xyz\left |x^2-y^2 \right |}{2xyz\sqrt{x^2+y^2}}=\frac {\left |x^2-y^2 \right |}{\sqrt{x^2+y^2}};\)

amiből

\(\displaystyle r(e)=\frac{d(m_A, m_B)}{e}=\frac{\frac {\left |x^2-y^2 \right |}{\sqrt{x^2+y^2}}}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{\left |x^2-y^2 \right |}{x^2+y^2}.\)

Logikai szimmetria miatt az \(\displaystyle f=AC\) és \(\displaystyle g=BC\) élekre

\(\displaystyle r(f)=\frac{\left |x^2-z^2 \right|}{x^2+z^2} \qquad \text{és} \qquad r(g)=\frac{\left |y^2-z^2 \right|}{y^2+z^2}.\)

A tetraéder (vagy amit könnyebb látni: a bennfoglaló téglatest) szimmetriája miatt

\(\displaystyle R(T)=2(r(e)+r(f)+r(g))=2\left ( \frac{\left |x^2-y^2 \right |}{x^2+y^2}+ \frac{\left |x^2-z^2 \right|}{x^2+z^2}+ \frac{\left |y^2-z^2 \right|}{y^2+z^2} \right ).\)

Egyszerű numerikus számítás mutatja, hogy ha \(\displaystyle x=10000\), \(\displaystyle y=100\) és \(\displaystyle z=1\), akkor \(\displaystyle R(T)\approx 5,9992\). Tehát az a \(\displaystyle T\) tetraéder, amelynek csúcsai \(\displaystyle A(10000,0,0)\), \(\displaystyle B(0,100,0)\), \(\displaystyle C(0,0,1)\) és \(\displaystyle D(10000,100,1)\) kielégíti a feladat követelményeit.

Megjegyzés. Világos, hogy tetszőleges tetraéder bármely \(\displaystyle e\) élére \(\displaystyle r(e)\le 1\), hiszen a magasságvonalak távolságát olyan szakaszhosszok minimumaként definiáljuk, amelyek közül az egyik éppen az élhossz. Ha \(\displaystyle r(e)=r(AB)=1\), akkor \(\displaystyle AB\) éppen a magasságvonalak normáltranszverzálisa, azaz \(\displaystyle AB\perp m_B\). De az \(\displaystyle A\)-ra illeszkedő, \(\displaystyle m_B\)-re merőleges sík éppen \(\displaystyle ACD\) lapsík, vagyis ekkor a tetraéder elfajul. Ebből \(\displaystyle r(e)<1\) és így \(\displaystyle R(T)< 6\) azonnal következik tetszőleges nem elfajuló tetraéderre.

A megoldásban \(\displaystyle R(T)\)-re kapott formulát felhasználva, további számolással igazolható, hogy tetszőleges \(\displaystyle \varepsilon>0\) esetén létezik egy pozitív \(\displaystyle N\) szám úgy, hogy \(\displaystyle x=N^2\), \(\displaystyle y=N\) és \(\displaystyle z=1\) választással \(\displaystyle R(T)>6-\varepsilon\), azaz az \(\displaystyle R(T)< 6\) egyenlőtlenség éles.

Statisztika:

A B. 5525. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2026. márciusi matematika feladatai