A B. 5526. feladat (2026. április)

B. 5526. Az \(\displaystyle O\) középpontú \(\displaystyle k\) kör \(\displaystyle O\)-tól különböző belső pontja \(\displaystyle P\). Az \(\displaystyle O\) pont tükörképe \(\displaystyle P\)-re \(\displaystyle O'\), az \(\displaystyle O'\) középpontú \(\displaystyle O'P\) sugarú kör és \(\displaystyle k\) egyik metszéspontja \(\displaystyle X\). Az \(\displaystyle XP\) egyenes \(\displaystyle k\)-t másodszor \(\displaystyle Y\)-ban metszi. Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle P\) harmadolja az \(\displaystyle XY\) szakaszt.

Javasolták: az SZTE II. évf. matematika tanárszakos hallgatói

(3 pont)

A beküldési határidő 2026. május 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen az \(\displaystyle O'\) középpontú \(\displaystyle O'P\) sugarú \(\displaystyle k'\) kör \(\displaystyle P\)-vel átellenes pontja \(\displaystyle D\), az \(\displaystyle O\) középpontú \(\displaystyle k\) kör \(\displaystyle Y\)-nal átellenes pontja pedig \(\displaystyle E\).

Az \(\displaystyle EY\) a \(\displaystyle k\) kör átmérője, a \(\displaystyle PD\) a \(\displaystyle k'\) átmérője, így a két kör \(\displaystyle X\) metszéspontjából a Thalész-tétel alapján mindkét átmérő derékszögben látszik, azaz valójában \(\displaystyle X\) pont a \(\displaystyle DE\) szakasz belső pontja. Most tekintsük a \(\displaystyle DEY\) háromszöget. Ebben \(\displaystyle DO\) súlyvonal és a \(\displaystyle P\) pont ennek a súlyvonalnak a harmadolópontja, tehát a háromszög súlypontja. Így tudjuk, hogy az \(\displaystyle XY\) is súlyvonal, amelynek \(\displaystyle P\) harmadolópontja. Ezzel az állítást beláttuk.

Megjegyzés. A megoldás során kiderült, hogy az \(\displaystyle YX\) súlyvonal merőleges a \(\displaystyle DE\) oldalra, így ez egyben magasságvonal és oldalfelező merőleges is. Ez alapján \(\displaystyle DYE\) egyenlő szárú háromszög: \(\displaystyle DY=YE\).

Statisztika:

A B. 5526. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2026. áprilisi matematika feladatai