A B. 5526. feladat (2026. április)

B. 5526. Az \(\displaystyle O\) középpontú \(\displaystyle k\) kör \(\displaystyle O\)-tól különböző belső pontja \(\displaystyle P\). Az \(\displaystyle O\) pont tükörképe \(\displaystyle P\)-re \(\displaystyle O'\), az \(\displaystyle O'\) középpontú \(\displaystyle O'P\) sugarú kör és \(\displaystyle k\) egyik metszéspontja \(\displaystyle X\). Az \(\displaystyle XP\) egyenes \(\displaystyle k\)-t másodszor \(\displaystyle Y\)-ban metszi. Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle P\) harmadolja az \(\displaystyle XY\) szakaszt.

Javasolták: az SZTE II. évf. matematika tanárszakos hallgatói

(3 pont)

A beküldési határidő 2026. május 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen az \(\displaystyle O'\) középpontú \(\displaystyle O'P\) sugarú \(\displaystyle k'\) kör \(\displaystyle P\)-vel átellenes pontja \(\displaystyle D\), az \(\displaystyle O\) középpontú \(\displaystyle k\) kör \(\displaystyle Y\)-nal átellenes pontja pedig \(\displaystyle E\).

Az \(\displaystyle EY\) a \(\displaystyle k\) kör átmérője, a \(\displaystyle PD\) a \(\displaystyle k'\) átmérője, így a két kör \(\displaystyle X\) metszéspontjából a Thalész-tétel alapján mindkét átmérő derékszögben látszik, azaz valójában \(\displaystyle X\) pont a \(\displaystyle DE\) szakasz belső pontja. Most tekintsük a \(\displaystyle DEY\) háromszöget. Ebben \(\displaystyle DO\) súlyvonal és a \(\displaystyle P\) pont ennek a súlyvonalnak a harmadolópontja, tehát a háromszög súlypontja. Így tudjuk, hogy az \(\displaystyle XY\) is súlyvonal, amelynek \(\displaystyle P\) harmadolópontja. Ezzel az állítást beláttuk.

Megjegyzés. A megoldás során kiderült, hogy az \(\displaystyle YX\) súlyvonal merőleges a \(\displaystyle DE\) oldalra, így ez egyben magasságvonal és oldalfelező merőleges is. Ez alapján \(\displaystyle DYE\) egyenlő szárú háromszög: \(\displaystyle DY=YE\).

Statisztika:

63 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	Albert Luca Liliána, Ali Richárd, Balla Ignác , Bao Nguyen Gia, Barabás Ákos, Baranyi Ernő, Beinschroth Máté, Benedek Olivér , Bodó Rókus Dániel, Budai Máté, Danka Emma, Erős-Joó Kristóf, Fajszi Horka, Farkas Réka, Gödry Miklós Gábor, Hajba Milán, Hajszter Dóra, Hideg János, Horák Zsófia, József Áron, Kiss Villő Zsófia, Kókai Ákos, Li Mingdao, Lovas Márk, Maróti Olga, Miszori Gergő, Miszori Márton, Molnár-Sáska Tamás, Nagy Ádám Kornél , Nagypál Katóca, Papp Mátyás, Pázmándi József Áron, Péter Hanna, Rajtik Sándor Barnabás, Rotter Szabolcs, Sajter Klaus, Sánta Gergely Péter, Sasvári Zoltán, Sha Jingyuan, Takács András, Tóth László Pál, Tóth Luca, Várhegyi Hanna, Varsányi Benedek, Vincze Marcell, Weng Chenxin, Wiener Marcell, Winkler-Antal Dalma, Zhu Hongyu.
2 pontot kapott:	7 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2026. áprilisi matematika feladatai