 |
A B. 5527. feladat (2026. április) |
B. 5527. Az \(\displaystyle ABC\) hegyesszögű háromszög oldalai \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\), a beírt körének sugara \(\displaystyle r\). Mutassuk meg, hogy (a B. 5495. feladatban is szereplő) \(\displaystyle 2r^2={(c-a)(c-b)}\) egyenlőség akkor és csak akkor teljesül, ha \(\displaystyle a+b=3c\).
Javasolta: Kiss Géza (Csömör)
(4 pont)
A beküldési határidő 2026. május 11-én LEJÁRT.
Megoldás. A megoldás során felhasználjuk a háromszög területének ismert \(\displaystyle T=r\cdot s\) képletét, illetve a \(\displaystyle T=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\) Héron-képletet (mindkettő képletben \(\displaystyle s\) a félkerületet jelöli, azaz \(\displaystyle s=\frac{a+b+c}{2}\)).
A \(\displaystyle 2r^2=(c-a)(c-b)\) képletből kiindulva szorozzuk mindkét oldalt \(\displaystyle s^2\)-tel, majd a bal oldalt helyettesítsük a Héron-képlet négyzetével, kapjuk, hogy \(\displaystyle 2T^2=2r^2s^2=s^2(c-a)(c-b)\), majd
\(\displaystyle 2s(s-a)(s-b)(s-c)=s^2(c-a)(c-b) \: .\)
Innen (a pozitív) \(\displaystyle s\)-sel egyszerűsítve, majd szorozva \(\displaystyle 4\)-gyel adódik:
\(\displaystyle 2(s-a)\cdot 2(s-b) \cdot 2(s-c)=2 \cdot 2 s(c-a)(c-b) \: .\)
Az \(\displaystyle s\) helyére \(\displaystyle \frac{a+b+c}{2}\)-t helyettesítve adódik \(\displaystyle 2(s-a)=2\frac{a+b+c-2a}{2} = (-a+b+c)\) (a \(\displaystyle 2(s-b)\) és a \(\displaystyle 2(s-c)\) tényezőket hasonlóan írjuk át). A helyettesítések után kapjuk:
\(\displaystyle (-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)= 2(a+b+c)(c-a)(c-b) \: .\)
Felbontva a zárójeleket és kissé rendezve (újabb zárójelek kirakásával) adódik (mivel a bal oldal az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) betűkben szimmetrikus, ez kicsit könnyít a felbontáson):
\(\displaystyle -a^3-b^3 - c^3 +a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)-2abc=2(c^3+c(-a^2-b^2) +a^2b+ab^2-abc) \:.\)
Az egyenlet jobb oldalát \(\displaystyle 0\)-ra rendezve kapjuk:
\(\displaystyle -a^3-b^3-3c^3-a^2b-ab^2+3a^2c+3b^2c+ac^2+bc^2=0 \: .\)
Végül vegyük észre, hogy a bal oldalon \(\displaystyle a^2\)-t, \(\displaystyle b^2\)-t és \(\displaystyle c^2\)-t kiemelve \(\displaystyle a^2(-a-b+3c) + b^2(-a-b+3c)+c^2(a+b-3c)=0\) adódik. Innen a bal oldal már könnyen szorzattá alakítható, és az alábbi egyenlőséget kapjuk:
\(\displaystyle (a+b-3c)(c^2-a^2-b^2)=0 \:.\)
Az egyenlet bal oldala pontosan akkor \(\displaystyle 0\), ha a bal oldal valamelyik tényezője \(\displaystyle 0\). A második tényező – Pitagorasz tételének megfordítása miatt – pontosan akkor \(\displaystyle 0\), ha a háromszög derékszögű, és átfogója \(\displaystyle c\), ami nem lehet, mivel az \(\displaystyle ABC\) háromszög hegyesszögű.
Azaz \(\displaystyle a+b-3c=0\), és innen valóban teljesül \(\displaystyle a+b=3c\) amint azt igazolni is szerettük volna.
A megoldás során végig ekvivalens átalakításokat végeztünk (sem gyököt nem veszthettünk, sem gyököt nem nyerhettünk), azaz \(\displaystyle 2r^2=(c-a)(c-b)\) egyenlőség valóban akkor és csak akkor teljesül (hegyesszögű háromszög esetén), ha \(\displaystyle a+b=3c\).
Statisztika:
A B. 5527. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2026. áprilisi matematika feladatai