A B. 5529. feladat (2026. április)

B. 5529. A \(\displaystyle 6^2\), \(\displaystyle 6^3\), \(\displaystyle 6^4\), \(\displaystyle \ldots\), \(\displaystyle 6^{2026}\) hatványok között hány olyan van, amelynek első számjegye kisebb, mint \(\displaystyle 6\)?

Javasolta: Sztranyák Attila (Budapest)

(3 pont)

A beküldési határidő 2026. május 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Először is vegyük észre, hogy a \(\displaystyle 6^n\) szám első számjegye pontosan akkor kisebb, mint 6, ha \(\displaystyle 6^{n-1}\) kevesebb számjegyből áll, mint \(\displaystyle 6^n\). (Valóban, egy \(\displaystyle [6\cdot 10^k,10^{k+1})\) intervallumba eső szám hatodrésze is legalább \(\displaystyle 10^k\), tehát ugyanannyi jegyből áll, viszont egy \(\displaystyle [10^k,6\cdot 10^k)\) intervallumba eső szám hatodrésze kisebb, mint \(\displaystyle 10^k\), és így kevesebb jegyből áll.)

Szintén világos, hogy a \(\displaystyle 6^2,6^3,\dots\) sorozatban mindegyik szám vagy ugyanannyi, vagy 1-gyel több jegyből áll, mint az előző. A \(\displaystyle 6^2=36\) szám 2-jegyű, így ha \(\displaystyle 6^{2026}\) jegyeinek száma \(\displaystyle K\), akkor a feladat kérdésére a válasz \(\displaystyle K-1\): minden \(\displaystyle 2\leq i\leq K\) mellett a sorozatban a legkisebb \(\displaystyle i\)-jegyű számokat véve megkapjuk a 6-tal kisebb jeggyel kezdődőket. (A sorozat első tagja 36, ami szintén teljesíti a feltételt.)

A \(\displaystyle K\) szám meghatározásához tekintsük a \(\displaystyle K\) definíciója alapján fennálló \(\displaystyle 10^{K-1}\leq 6^{2026}<10^{K}\) egyenlőtlenségeket, amiből 10-es alapú logaritmust véve a

\(\displaystyle K-1\leq \log_{10} 6^{2026}<K\)

egyenlőtlenségeket kapjuk, és így \(\displaystyle K=[\log_{10} 6^{2026}]+1=[2026\cdot \log_{10}6]+1=1577\), hiszen \(\displaystyle 2026\log_{10}=1576,534\dots\)

A feladat kérdésére a válasz tehát \(\displaystyle K-1=1576\).

Statisztika:

A B. 5529. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2026. áprilisi matematika feladatai