A B. 5533. feladat (2026. április)

B. 5533. Az \(\displaystyle ABC\) hegyesszögű háromszögben az \(\displaystyle A\)-ból induló magasság talppontja \(\displaystyle A_0\), a \(\displaystyle B\)-ből induló magasság talppontja \(\displaystyle B_0\). Legyen az \(\displaystyle A_0B_0C\) körön \(\displaystyle X\) és \(\displaystyle Y\) az a két pont, amelyre az \(\displaystyle ABX\), illetve az \(\displaystyle ABY\) kör érinti az \(\displaystyle A_0B_0C\) kört. Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle XY\) egyenes felezi az \(\displaystyle AB\) oldalt.

Javasolta: Kós Géza (Budapest)

(6 pont)

A beküldési határidő 2026. május 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Az \(\displaystyle X\) és az \(\displaystyle Y\) pontok megadásához olyan köröket kell szerkesztenünk, amelyek illeszkednek \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) pontokra, valamint érintik \(\displaystyle A_0B_0C\) kört. Ez egy Appoloniusz-szerkesztési feladat. Többféle megoldás ismeretes, pl. egy \(\displaystyle A\) (vagy \(\displaystyle B\)) pólusú inverzió segít. Ez adja az ötletet a következő megoldáshoz, ahol az inverzió alapkörének sugarát úgy választjuk, hogy a számolások kényelmesen alakuljanak. (Ezt természetesen már csak a megoldás ismeretében tudjuk ügyesen választani, de a gondolatmenet tetszőleges sugárral működik, csak sokkal több ponttal kell dolgozzunk.)

Jelölje \(\displaystyle A_0\), \(\displaystyle B_0\) és \(\displaystyle C_0\) a magasságok talppontjait, \(\displaystyle M\) a magasságpontot, továbbá legyen \(\displaystyle \iota\) az \(\displaystyle A\) középpontú, \(\displaystyle r=\sqrt{AB_0\cdot AC}\) sugarú körre vett inverzió.

A \(\displaystyle CM\) szakasz Thalész-körére Thalész-tételének megfordítása miatt illeszkednek \(\displaystyle A_0\) és \(\displaystyle B_0\) pontok, ezért \(\displaystyle A_0\), \(\displaystyle M\), \(\displaystyle B_0\) és \(\displaystyle C\) pontok konciklikusak. Az \(\displaystyle A_0MB_0C\) körre alkalmazzuk a szelőtételt \(\displaystyle A\) pontból, így \(\displaystyle AB_0\cdot AC=AM\cdot AA_0\), azaz \(\displaystyle \iota\) a \(\displaystyle B_0\) és \(\displaystyle C\), illetve az \(\displaystyle M\) és \(\displaystyle A_0\) pontokat felcseréli, azaz \(\displaystyle A_0MB_0C\) kört invariánsan hagyja.

Ugyanígy, \(\displaystyle \iota(C)=B_0\) és \(\displaystyle \iota(A_0)=M\) miatt a \(\displaystyle BA_0C\) egyenes képe \(\displaystyle AMB_0\) kör. Utóbbi éppen \(\displaystyle AM\) szakasz Thalész-köre, amire illeszkedik \(\displaystyle C_0\) pont is, ezért \(\displaystyle \iota(B)=C_0\).

Húzzunk érintőket \(\displaystyle C_0\)-ból \(\displaystyle B_0MA_0C\) körhöz, az érintési pontok legyenek \(\displaystyle X'\) és \(\displaystyle Y'\). A \(\displaystyle C_0X'\) egyenes inverz képe kör, amely érinti az invariáns \(\displaystyle A_0MB_0C\) kört, illeszkedik \(\displaystyle A\) pólusra, és \(\displaystyle \iota(C_0)=B\) miatt \(\displaystyle B\) pontra is. Az \(\displaystyle X'\) pont inverz képe illeszkedik az invariáns \(\displaystyle A_0MB_0C\) körre, ezért éppen a feladatban szereplő \(\displaystyle X\) pont. Hasonlóan \(\displaystyle \iota(Y')=Y\).

Messe \(\displaystyle AX'Y'\) kör az \(\displaystyle AB\) egyenest másodszor \(\displaystyle F'\)-ben. Mivel \(\displaystyle CM\) az \(\displaystyle A_0MB_0C\) kör átmérője, ezért \(\displaystyle X'\) és \(\displaystyle Y'\) a \(\displaystyle CMC_0\) egyenesre szimmetrikusan helyezkedik el, azaz \(\displaystyle AF'X'Y'\) kör is szimmetrikus \(\displaystyle CMC_0\) egyenesre, s így \(\displaystyle C_0\) felezi \(\displaystyle AF'\) szakaszt.

Az \(\displaystyle F'\) pont inverz képe egyrészt illeszkedik \(\displaystyle AF'X'Y'\) kör inverzére, azaz \(\displaystyle XY\) egyenesre, másrészt illeszkedik \(\displaystyle AB\) félegyenesre is, így \(\displaystyle F=\iota(F')\) éppen \(\displaystyle XY\) és \(\displaystyle AB\) metszéspontja. Végül \(\displaystyle F\) pont felezi \(\displaystyle AB\) szakaszt, mert \(\displaystyle \iota(C_0)=B\) és \(\displaystyle C_0\) felezi \(\displaystyle AF'\)-t. Ezt akartuk belátni.

Statisztika:

A B. 5533. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2026. áprilisi matematika feladatai