A B. 5533. feladat (2026. április)

B. 5533. Az \(\displaystyle ABC\) hegyesszögű háromszögben az \(\displaystyle A\)-ból induló magasság talppontja \(\displaystyle A_0\), a \(\displaystyle B\)-ből induló magasság talppontja \(\displaystyle B_0\). Legyen az \(\displaystyle A_0B_0C\) körön \(\displaystyle X\) és \(\displaystyle Y\) az a két pont, amelyre az \(\displaystyle ABX\), illetve az \(\displaystyle ABY\) kör érinti az \(\displaystyle A_0B_0C\) kört. Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle XY\) egyenes felezi az \(\displaystyle AB\) oldalt.

Javasolta: Kós Géza (Budapest)

(6 pont)

A beküldési határidő 2026. május 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Az \(\displaystyle X\) és az \(\displaystyle Y\) pontok megadásához olyan köröket kell szerkesztenünk, amelyek illeszkednek \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) pontokra, valamint érintik \(\displaystyle A_0B_0C\) kört. Ez egy Appoloniusz-szerkesztési feladat. Többféle megoldás ismeretes, pl. egy \(\displaystyle A\) (vagy \(\displaystyle B\)) pólusú inverzió segít. Ez adja az ötletet a következő megoldáshoz, ahol az inverzió alapkörének sugarát úgy választjuk, hogy a számolások kényelmesen alakuljanak. (Ezt természetesen már csak a megoldás ismeretében tudjuk ügyesen választani, de a gondolatmenet tetszőleges sugárral működik, csak sokkal több ponttal kell dolgozzunk.)

Jelölje \(\displaystyle A_0\), \(\displaystyle B_0\) és \(\displaystyle C_0\) a magasságok talppontjait, \(\displaystyle M\) a magasságpontot, továbbá legyen \(\displaystyle \iota\) az \(\displaystyle A\) középpontú, \(\displaystyle r=\sqrt{AB_0\cdot AC}\) sugarú körre vett inverzió.

A \(\displaystyle CM\) szakasz Thalész-körére Thalész-tételének megfordítása miatt illeszkednek \(\displaystyle A_0\) és \(\displaystyle B_0\) pontok, ezért \(\displaystyle A_0\), \(\displaystyle M\), \(\displaystyle B_0\) és \(\displaystyle C\) pontok konciklikusak. Az \(\displaystyle A_0MB_0C\) körre alkalmazzuk a szelőtételt \(\displaystyle A\) pontból, így \(\displaystyle AB_0\cdot AC=AM\cdot AA_0\), azaz \(\displaystyle \iota\) a \(\displaystyle B_0\) és \(\displaystyle C\), illetve az \(\displaystyle M\) és \(\displaystyle A_0\) pontokat felcseréli, azaz \(\displaystyle A_0MB_0C\) kört invariánsan hagyja.

Ugyanígy, \(\displaystyle \iota(C)=B_0\) és \(\displaystyle \iota(A_0)=M\) miatt a \(\displaystyle BA_0C\) egyenes képe \(\displaystyle AMB_0\) kör. Utóbbi éppen \(\displaystyle AM\) szakasz Thalész-köre, amire illeszkedik \(\displaystyle C_0\) pont is, ezért \(\displaystyle \iota(B)=C_0\).

Húzzunk érintőket \(\displaystyle C_0\)-ból \(\displaystyle B_0MA_0C\) körhöz, az érintési pontok legyenek \(\displaystyle X'\) és \(\displaystyle Y'\). A \(\displaystyle C_0X'\) egyenes inverz képe kör, amely érinti az invariáns \(\displaystyle A_0MB_0C\) kört, illeszkedik \(\displaystyle A\) pólusra, és \(\displaystyle \iota(C_0)=B\) miatt \(\displaystyle B\) pontra is. Az \(\displaystyle X'\) pont inverz képe illeszkedik az invariáns \(\displaystyle A_0MB_0C\) körre, ezért éppen a feladatban szereplő \(\displaystyle X\) pont. Hasonlóan \(\displaystyle \iota(Y')=Y\).

Messe \(\displaystyle AX'Y'\) kör az \(\displaystyle AB\) egyenest másodszor \(\displaystyle F'\)-ben. Mivel \(\displaystyle CM\) az \(\displaystyle A_0MB_0C\) kör átmérője, ezért \(\displaystyle X'\) és \(\displaystyle Y'\) a \(\displaystyle CMC_0\) egyenesre szimmetrikusan helyezkedik el, azaz \(\displaystyle AF'X'Y'\) kör is szimmetrikus \(\displaystyle CMC_0\) egyenesre, s így \(\displaystyle C_0\) felezi \(\displaystyle AF'\) szakaszt.

Az \(\displaystyle F'\) pont inverz képe egyrészt illeszkedik \(\displaystyle AF'X'Y'\) kör inverzére, azaz \(\displaystyle XY\) egyenesre, másrészt illeszkedik \(\displaystyle AB\) félegyenesre is, így \(\displaystyle F=\iota(F')\) éppen \(\displaystyle XY\) és \(\displaystyle AB\) metszéspontja. Végül \(\displaystyle F\) pont felezi \(\displaystyle AB\) szakaszt, mert \(\displaystyle \iota(C_0)=B\) és \(\displaystyle C_0\) felezi \(\displaystyle AF'\)-t. Ezt akartuk belátni.

Statisztika:

15 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Ali Richárd, Bao Nguyen Gia, Bodor Ádám, Diaconescu Tashi, Ercse Ferenc, Kókai Ákos, Li Mingdao, Pázmándi József Áron, Rajtik Sándor Barnabás, Sajter Klaus, Sha Jingyuan, Várhegyi Hanna, Vincze Marcell, Wiener Marcell.
4 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2026. áprilisi matematika feladatai