A B. 5534. feladat (2026. május)

B. 5534. Oldjuk meg a valós számok halmazán az

\(\displaystyle \{x\}+\left\{\frac{1}{x}\right\}=1 \)

egyenletet, ahol \(\displaystyle \{x\}\) az \(\displaystyle x\) szám törtrészét jelenti.

Javasolta: Holló Gábor (Budapest)

(3 pont)

A beküldési határidő 2026. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az egyenlet értelmezési tartománya az \(\displaystyle x \neq 0\) valós számok halmaza.

Az egész rész és a tört rész definíciója alapján \(\displaystyle x= \lbrace x \rbrace + [x]\), így az egyenletünk átírható

\(\displaystyle \lbrace x \rbrace + \left\lbrace \dfrac{1}{x} \right\rbrace =x-[x]+\dfrac{1}{x}- \left[ \dfrac{1}{x}\right]=1 \Longleftrightarrow x+\dfrac{1}{x} = [x]+ \left[ \dfrac{1}{x}\right] +1\)

az eredeti egyenlettel ekvivalens alakba. Mivel ez utóbbi egyenlet jobb oldala egész szám, így a bal oldal is az. Továbbá ismert, hogy \(\displaystyle \left| x+\dfrac{1}{x} \right| \geq 2 \), így az \(\displaystyle x+\dfrac{1}{x}\) összeg olyan egész szám, amelynek abszolút értéke legalább 2. Jelölje ezt az egész összeget \(\displaystyle x+\dfrac{1}{x}=n\). Továbbá \(\displaystyle n=2\), illetve \(\displaystyle n=-2\) esetén \(\displaystyle x=1\)-t, illetve \(\displaystyle x=-1\)-t kapnánk az \(\displaystyle x+\dfrac{1}{x}=n\) egyenlet megoldásaként, \(\displaystyle x=\pm1\) esetén viszont az eredeti egyenlet jobb oldala \(\displaystyle 0\) lenne, azaz \(\displaystyle x=\pm 1\) az eredeti egyenletnek nem megoldása. Feltehető tehát, hogy \(\displaystyle n\) olyan egész szám, hogy \(\displaystyle |n| > 2\).

Megoldva az \(\displaystyle x+\dfrac{1}{x}=n\) egyenletet (az \(\displaystyle n\) egészet az egyenlet paramétereként tekintve) megoldásul \(\displaystyle x_{1;2}=\dfrac{n \pm \sqrt{n^2-4}}{2}\)-t kapunk. Megmutatjuk, hogy a kapott \(\displaystyle x_1\) és \(\displaystyle x_2\) számok az eredeti egyenletnek is megoldásai. A gyökök és együtthatók közötti összefüggés alapján \(\displaystyle x_1 \cdot x_2 =1\), azaz a két gyök egymás reciproka, emiatt elég az egyik gyökre megmutatni, hogy vele az eredeti egyenlettel ekvivalens \(\displaystyle n = [x]+ \left[ \dfrac{1}{x}\right] +1\) teljesül. Ezt \(\displaystyle n\) előjele alapján két esetre bontva mutatjuk meg.

1. eset: \(\displaystyle n >2\) (pozitív egész) esetén vizsgáljuk az \(\displaystyle x_1=\dfrac{n + \sqrt{n^2-4}}{2}\) gyököt.

Ekkor \(\displaystyle 0<n-2<n+2 \Rightarrow 0<(n-2)^2<(n-2)(n+2) \Rightarrow 0<n-2<\sqrt{n^2-4}<n\), és innen

\(\displaystyle n-1=\dfrac{n+(n-2)}{2}<x_1=\dfrac{n + \sqrt{n^2-4}}{2}<\dfrac{n+n}{2}=n,\)

azaz \(\displaystyle x_1\) a szomszédos \(\displaystyle (n-1)\) és \(\displaystyle n\) egészek közé esik, vagyis \(\displaystyle |x_1|=n-1>1\), és emiatt (mivel \(\displaystyle \frac{1}{x_1}\) ekkor \(\displaystyle 0\) és \(\displaystyle 1\) közé esik) \(\displaystyle \left| \dfrac{1}{x_1} \right| =0\), azaz \(\displaystyle x_1+\dfrac{1}{x_1}=n=(n-1)+0+1=[x_1]+ \left[ \dfrac{1}{x_1}\right] +1\), azaz \(\displaystyle x_1\) (és így persze reciproka \(\displaystyle x_2\) is) valóban kielégíti az eredeti egyenletet is.

2. eset: \(\displaystyle n < -2\) (negatív egész) esetén pedig az \(\displaystyle x_2=\dfrac{n - \sqrt{n^2-4}}{2}\) gyököt vizsgáljuk.

Ekkor \(\displaystyle 0>n+2>n-2 \Rightarrow 0<(n+2)^2<(n-2)(n+2)<n^2\Rightarrow 0 <|n+2|<\sqrt{n^2-4}<|n| \Rightarrow 0<-n-2<\sqrt{n^2-4}<-n\), és innen

\(\displaystyle n=\dfrac{n-(-n)}{2}<x_2=\dfrac{n - \sqrt{n^2-4}}{2}<\dfrac{n-(-n-2)}{2}=n+1,\)

azaz \(\displaystyle x_2\) a szomszédos \(\displaystyle n\) és \(\displaystyle n+1\) egészek közé esik, vagyis \(\displaystyle |x_2|=n<-2\), és emiatt (mivel \(\displaystyle \frac{1}{x_2}\) ekkor \(\displaystyle 0\) és \(\displaystyle -1\) közé esik) \(\displaystyle \left| \dfrac{1}{x_2} \right| =-1\), azaz \(\displaystyle x_2+\dfrac{1}{x_2}=n=n+(-1)+1=[x_2]+ \left[ \dfrac{1}{x_2}\right] +1\), azaz \(\displaystyle x_2\) (és így persze reciproka \(\displaystyle x_1\) is) valóban kielégíti az eredeti egyenletet is.

Válasz: Összefoglalva tehát azt kaptuk, hogy az eredeti egyenlet megoldásai az \(\displaystyle x_1=\dfrac{n + \sqrt{n^2-4}}{2}\), és az \(\displaystyle x_2=\dfrac{n - \sqrt{n^2-4}}{2}\) alakú számok, ahol \(\displaystyle n\) tetszőleges \(\displaystyle 2\)-nél nagyobb abszolútértékű egész.

Statisztika:

A B. 5534. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2026. májusi matematika feladatai