 |
A B. 5535. feladat (2026. május) |
B. 5535. Egy nem egyenlő szárú háromszög oldalai \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), beírt körének sugara \(\displaystyle r\). Az \(\displaystyle a\) oldalhoz tartozó súlyvonal \(\displaystyle s_a\), továbbá jelölje \(\displaystyle t_a\) a beírt kör középpontjának távolságát az \(\displaystyle s_a\) egyenesétől. Mutassuk meg, hogy
\(\displaystyle 2t_as_a=|b-c|\cdot r. \)
Javasolta: Kiss Géza (Csömör)
(3 pont)
A beküldési határidő 2026. június 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Jelölje a háromszög csúcsait a szokásos rend szerint \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\), a beírt kör középpontját \(\displaystyle I\), a \(\displaystyle BC\) oldal felezőpontját \(\displaystyle F\).
Az \(\displaystyle AIF\) háromszög területét fogjuk kétféleképpen kiszámítani.
Egyrészt, ha az \(\displaystyle AF = s_a\) oldalát tekintjük alapjának, az ehhez tartozó magasság éppen \(\displaystyle t_a\), tehát
\(\displaystyle T(AIF) = \frac{t_as_a}2. \)
Másrészt az \(\displaystyle AIF\) háromszög területének 2-szerese éppen megadja az \(\displaystyle ABFI\) és az \(\displaystyle AIFC\) négyszögek területének különbségét. Hiszen az \(\displaystyle ABF\) és \(\displaystyle AFC\) háromszögek területe megegyezik (mivel \(\displaystyle AF\) súlyvonal), és az \(\displaystyle ABF\) és \(\displaystyle AFC\) háromszögekről a \(\displaystyle ABFI\) és az \(\displaystyle AIFC\) négyszögekre áttérésnél, az egyik területrészhez hozzáadódik, a másikból levonódik az \(\displaystyle AIF\) háromszög (hogy melyikhez adódik hozzá és melyikből vonódik le, az attól függ, hogy \(\displaystyle I\) az \(\displaystyle s_a\) melyik oldalára esik). Így
$$\begin{eqnarray*} 2 T(AIF) &=& \left\vert T(ABFI) - T(AIFC) \right\vert = \left\vert T(ABI) + T(BFI) - T(AIC) - T(IFC) \right\vert = \\ &=& \left\vert T(ABI) - T(AIC) \right\vert = \left\vert \frac{cr}2 - \frac{br}2 \right\vert = \frac{|b-c|\cdot r}{2}. \end{eqnarray*}$$(Kihasználtuk, hogy \(\displaystyle IF\) súlyvonal az \(\displaystyle IBC\) háromszögben, tehát \(\displaystyle T(BFI) = T(IFC)\).)
Ezzel megkaptuk a bizonyítandó állítást:
\(\displaystyle 2t_as_a = 4 T(AIF)= |b-c|\cdot r.\)
Statisztika:
A B. 5535. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2026. májusi matematika feladatai