 |
A B. 5537. feladat (2026. május) |
B. 5537. A \(\displaystyle k\) körben a \(\displaystyle CD\) húr felezi az \(\displaystyle AB\) húrt. A \(\displaystyle k\)-hoz \(\displaystyle C\)-ben, illetve \(\displaystyle D\)-ben húzott érintők az \(\displaystyle AB\) egyenest \(\displaystyle X\)-ben, illetve \(\displaystyle Y\)-ban metszik. Igazoljuk, hogy \(\displaystyle {XA=YB}\).
Crux Mathematicorum
(4 pont)
A beküldési határidő 2026. június 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Legyen az \(\displaystyle AB\) húr felezőpontja \(\displaystyle F\), az egyes szereplő szakaszok hossza \(\displaystyle AF=FB=u\), \(\displaystyle CF=c\), \(\displaystyle FD=d\), \(\displaystyle XF=x\), \(\displaystyle FY=y\), továbbá \(\displaystyle CFX\sphericalangle=YFD\sphericalangle=\varphi\).
Azt fogjuk igazolni, hogy \(\displaystyle XF=x=y=FY\), ebből már következik, hogy \(\displaystyle AX=x-u=y-u=YB\).
Írjuk fel az \(\displaystyle X, Y\) és \(\displaystyle F\) pontok körre vonatkozó hatványát:
\(\displaystyle XC^2=XA\cdot XB=(x-u)(x+u)=x^2-u^2, \tag{1}\)
\(\displaystyle YD^2=YB\cdot YA=(y-u)(y+u)=y^2-u^2, \tag{2}\)
\(\displaystyle CF\cdot FD=AF\cdot FB, \quad \text{azaz}\quad c\cdot d=u^2. \tag{3}\)
Számoljuk az \(\displaystyle XC\) érintőszakasz négyzetét az \(\displaystyle XFC\) háromszögből koszinusztétellel is és használjuk az (1) összefüggést:
\(\displaystyle XC^2=x^2-u^2=x^2+c^2-2xc\cos\varphi.\)
Ebből már kifejezhető az \(\displaystyle XF\) szakasz hossza \(\displaystyle u, c, \cos\varphi\) segítségével:
\(\displaystyle 2xc\cos\varphi=c^2+u^2, \)
\(\displaystyle x=\frac{c^2+u^2}{2c\cos\varphi}.\)
Sőt azt is tudjuk (3)-ból, hogy \(\displaystyle u^2=cd\) és ezzel
\(\displaystyle x=\frac{c^2+u^2}{2c\cos \varphi}=\frac{c^2+cd}{2c\cos \varphi}=\frac{c+d}{2\cos\varphi}.\)
Ugyanezzel az eljárással:
\(\displaystyle YD^2=y^2-u^2=y^2+d^2-2yd\cos\varphi,\)
\(\displaystyle y=\frac{d^2+u^2}{2d\cos\varphi}=\frac{d^2+cd}{2d\cos\varphi}=\frac{c+d}{2\cos\varphi}.\)
Megmutattuk tehát, hogy \(\displaystyle XF=x=y=FY\), vagyis \(\displaystyle AX=YB\) is teljesül.
Statisztika:
A B. 5537. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2026. májusi matematika feladatai