 |
A B. 5538. feladat (2026. május) |
B. 5538. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet:
\(\displaystyle \frac{1}{x^2-5x+9}+\frac{1}{y^2-5y+9}+\frac{1}{z^2-5z+9}=\frac{1}{\sqrt{6x-9}}+\frac{1}{\sqrt{6y-9}}+\frac{1}{\sqrt{6z-9}}. \)
Javasolta: Bencze Mihály (Brassó)
(5 pont)
A beküldési határidő 2026. június 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Egy megoldása van az egyenletnek: \(\displaystyle x=y=z=3\).
Azt fogjuk belátni, hogy
\(\displaystyle \frac{1}{x^2-5x+9} \leq \frac{1}{\sqrt{6x-9}}\)
minden, az értelmezési tartományon belüli számra (azaz \(\displaystyle x > \frac{2}{3}\) valós számra), és egyenlőség pontosan \(\displaystyle x=3\) esetén áll fent.
Ha belátjuk ezt az állítást, akkor készen leszünk, hiszen ha \(\displaystyle (x,y,z) \neq (3,3,3)\), akkor az eredeti egyenletünk jobb oldala szigorúan nagyobb lenne, mint a bal.
Most térjünk rá a bizonyításra. Minden \(\displaystyle x\) értelmezési tartományban lévő számra \(\displaystyle \sqrt{6x-9} > 0\) és
\(\displaystyle x^2-5x+9 = \left(x-\frac{5}{2}\right)^2 + \frac{11}{4} > 0,\)
tehát ha felszorzunk a nevezőkkel és négyzetre emelünk, akkor ekvivalens átalakításokat végzünk:
\(\displaystyle (x^2-5x+9)^2 \geq 6x-9.\)
Kibontva és egy oldalra rendezve:
\(\displaystyle x^4-10x^3+43x^2-96x+90 \geq 0.\)
Megsejthetjük, hogy \(\displaystyle (x-3)^2\) kiemelhető, mivel \(\displaystyle x=3\) esetén egyenlőség van, és azt akarjuk belátni, hogy a polinom mindig nemnegatív.
\(\displaystyle x^4-10x^3+43x^2-96x+90 = (x-3)^2(x^2-4x+10)=(x-3)^2((x-2)^2+6) \geq 0.\)
Azaz beláttuk, hogy igaz az eredeti egyenlőtlenség (mivel csupa ekvivalens átalakítást végeztünk), és egyenlőség csak \(\displaystyle x=3\) esetén áll fent.
Statisztika:
55 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Albert Luca Liliána, Ali Richárd, Balla Ignác , Bao Nguyen Gia, Barabás Ákos, Beinschroth Máté, Benedek Olivér , Bodó Rókus Dániel, Bodor Ádám, Budai Máté, Csizmadia Ronald, Danka Emma, Ercse Ferenc, Fajszi Horka, Hajba Milán, Hajszter Dóra, Halmosi Dávid, Hideg János, Li Mingdao, Lovas Márk, Máté Kristóf, Miszori Gergő, Miszori Márton, Nagy Ádám Kornél , Nagy Roxána, Papp Mátyás, Pataki Gergő, Pázmándi József Áron, Péter Hanna, Rajtik Sándor Barnabás, Rotter Szabolcs, Sajter Klaus, Schmidt Botond, Sógor-Jász Soma, Stépán Gábor, Szabó-Caceres Alan Martin, Tóth László Pál, Várhegyi Hanna, Vincze Marcell, Wiener Marcell, Winkler-Antal Dalma. 4 pontot kapott: 10 versenyző. 3 pontot kapott: 4 versenyző.
A KöMaL 2026. májusi matematika feladatai