A B. 5542. feladat (2026. szeptember)

B. 5542. Egy \(\displaystyle 13\) fős társaság szeretne eljutni egy \(\displaystyle 50~\text{km}\)-re fekvő városba. Sajnos tömegközlekedés nincs a környéken, de gyalogolhatnak \(\displaystyle 5~\text{km}/\text{h}\) sebességgel, és van egy ötszemélyes autójuk, amely \(\displaystyle 80~\text{km}/\text{h}\) sebességgel tud haladni. El tudnak-e jutni mindannyian a másik városba két és fél óra alatt?

Javasolta: Hujter Bálint (Budapest)

(3 pont)

A beküldési határidő 2026. október 12-én LEJÁRT.

1. megoldás. A feladat során feltesszük, hogy az utasok ki- és beszállása, illetve az autó megfordulása nem kerül időbe. Megmutatjuk, hogy – ezen feltételek mellett – mindannyian el tudnak jutni a másik városba 2 és fél óra alatt. Osszuk fel a társaság tagjait három négyes csoportra (\(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\) csoport) és egy (állandó) sofőrre.

– A kezdő időpontban a sofőr az \(\displaystyle A\) csoport tagjait a kocsiba ülteti (\(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\) csoport tagjai pedig gyalog elindulnak a városba), és pontosan fél órát halad velük a cél felé, ekkor az \(\displaystyle A\) csoport tagjai kiszállnak a kocsiból, és két órán keresztül gyalog folytatják az útjukat, így összesen (két és fél óra alatt) pontosan \(\displaystyle \frac{1}{2} \text{h}\cdot 80 \frac{\text{km}}{\text{h}} + 2 \text{h} \cdot 5 \frac{\text{km}}{\text{h}} = 50 \text{km}\)-t tesznek meg.

– Miután a sofőr kirakta az \(\displaystyle A\) csoport tagjait visszafordul, és amint \(\displaystyle x\) idő múlva a szembejövő \(\displaystyle B\) csoporttal (amelynek tagjai \(\displaystyle C\) csoporttal együtt gyalogolnak) találkozik felveszi őket, megfordul, és pontosan fél óráig viszi őket is a cél felé. Ekkor kirakja őket, hogy a továbbiakban gyalog folytassák az útjukat. Azt kell végiggondolnunk, hogy – mivel a visszafordulás után a gyalogos \(\displaystyle B\) csoport, és az autó egymással szembe mennek, a relatív sebességük (\(\displaystyle 85 \frac{\text{km}}{\text{h}}\)) több, mint amikor egy irányba mennek (ekkor \(\displaystyle 75 \frac{\text{km}}{\text{h}}\)) – az \(\displaystyle x\) idő kevesebb, mint fél óra, így a \(\displaystyle B\) csoport tagjait a kezdő időponthoz képest kevesebb, mint másfél óra után teszi ki a sofőr; továbbá amikor kiteszi a csoport tagjait, akkor éppen utolérte az \(\displaystyle A\) csoport (már gyalogló) tagjait, hiszen az \(\displaystyle A\) és a \(\displaystyle B\) csoport is pontosan fél órát autózott, és \(\displaystyle x+\frac{1}{2}\) órát gyalogolt.

– Miután a sofőr kirakta a \(\displaystyle B\) csoport tagjait visszafordul, és amint (nyilván megint csak) \(\displaystyle x\) idő múlva a szembejövő \(\displaystyle C\) csoporttal találkozik felveszi őket is, megfordul, és pontosan fél óráig viszi őket is a cél felé. Ekkor kirakja őket, hogy a továbbiakban gyalog folytassák az útjukat. Az előbb elmondottak alapján eddig az időpontig \(\displaystyle 3 \cdot \frac{1}{2} + 2x\), azaz kevesebb, mint \(\displaystyle \left(3 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{2}= \right)2,5\) óra telik el, továbbá amikor kirakja a sofőr \(\displaystyle C\) csoport tagjait, akkor éppen utoléri az együtt gyalogló \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle A\) csoportot, és így a 12 gyalogos pontosan két és fél óra alatt ér a célba (a sofőr a kocsival egyedül kicsit korábban).

Ezzel megmutattuk, hogy valóban mindenki eljuthat két és fél óra alatt a városba.

2. megoldás. Amint láttuk az előbbi megoldás – bár megfelelő – nem optimális, kicsit kevesebb idő is elég ahhoz, hogy mindenki célba jusson. Ezt mutatja meg a következő ,,javítás''.

Ehhez – az előző megoldáshoz hasonlóan – a sofőr az \(\displaystyle A\) csoport tagjait (a később kiszámolandó, fél órától kicsit több) \(\displaystyle t\) óráig szállítja a célváros felé, kirakja őket, majd visszafordulva (a később kiszámolandó) \(\displaystyle u\) idő alatt találkozik a szembejövő \(\displaystyle B\) csoport tagjaival, őket felveszi, és újra csak \(\displaystyle t\) óra alatt utoléri a gyalogló \(\displaystyle A\) csoportot, itt \(\displaystyle B\)-t kirakja, visszafordulva \(\displaystyle C\) csoporttal találkozik, és őket felvéve megint csak \(\displaystyle t\) óra alatt utoléri az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) csoportot. (Az alábbi – nem méretarányos – ábrán összefoglaljuk a szállítások ,,időtábláját'', a piros szakaszok az egyes csoportok autóútjának idejét, míg a kék szakaszok a gyalogosan megtett utak idejét jelentik.)

Az előző megoldáshoz hasonlóan világos, hogy az összesen \(\displaystyle 3t + 2 u\) óra alatt minden csoport pontosan \(\displaystyle t\) óráig autózott, és \(\displaystyle 2t + 2u\) óráig gyalogolt, azaz pontosan \(\displaystyle 3t + 2 u\) óra alatt valóban mind a három csoport tagjai pontosan ugyanott lesznek. Úgy tudunk ,,optimalizálni'', hogy ha pont ebben az időpontban ér mindenki az 50 kilométerre lévő célvárosba.

Továbbá \(\displaystyle t\) és \(\displaystyle u\) nem független egymástól. Mivel az autó \(\displaystyle t\) óra alatt a vele egyirányban haladó gyalogosoktól \(\displaystyle 75 \cdot t\) kilométer távolságra távolodik el, míg \(\displaystyle u\) óra alatt a vele ellentétes irányban haladó gyalogosokhoz \(\displaystyle 85 \cdot u\) kilométerrel kerül közelebb, ezért \(\displaystyle 75 t = 85 u \Rightarrow u = \frac{75}{85}t = \frac{15}{17}t\).

Így ha \(\displaystyle t\) órát autózva és \(\displaystyle 2t + 2u\) órát gyalogolva összesen \(\displaystyle 3t + 2 u\) óra alatt ér \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\) csoport minden tagja az 50 km-re lévő célba, akkor az alábbi egyenlet oldandó meg:

\(\displaystyle 80 \cdot t+5 \cdot (2t + 2u) =80 \cdot t+5 \cdot \left( 2t+\frac{30}{17}t \right) = 50\). Az egyenletet megoldva: \(\displaystyle t=\frac{85}{168} \approx 0,50595\) adódik (és ekkor \(\displaystyle u=\frac{75}{168} \approx 0,44643\)), és így az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\) csoport minden tagja éppen \(\displaystyle 3t + 2 u = \frac{405}{168} \approx 2,41071\) óra (körülbelül 2 óra, 24 perc és 39 másodperc) alatt ér a városba.

Ellenőrzésként nézzük még meg, hogy ekkor a sofőr is éppen a városba ért-e: a sofőr (a távolságokkal előjelesen számolva) összesen éppen (valóban) \(\displaystyle (3t-2u) \cdot 80=\frac{3 \cdot 85 - 2 \cdot 75}{168} \cdot 80 = \frac{105}{168} \cdot 80=50\) kilométerre van az indulási várostól.

Ezzel a megoldást befejeztük, két és fél óra alatt valóban eljuttatható a társaság minden tagja a célba.

Statisztika:

138 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	102 versenyző.
2 pontot kapott:	19 versenyző.
1 pontot kapott:	8 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	6 dolgozat.

A KöMaL 2026. szeptemberi matematika feladatai