 |
A B. 5543. feladat (2026. szeptember) |
B. 5543. Egy téglalap alakú biliárdasztal szemben levő oldalai \(\displaystyle e\) és \(\displaystyle f\), a belsejében két pont \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\). Bizonyítsuk be, hogy ha egy pontszerű biliárdgolyó az \(\displaystyle A\) pontból a \(\displaystyle B\) pontba úgy jut el, hogy kétszer pattan vissza az \(\displaystyle e\) és kétszer az \(\displaystyle f\) oldalról (és a másik két oldalon nem pattan), akkor útja során áthalad az \(\displaystyle AB\) szakasz felezőpontján.
Javasolta: Gyenes Zoltán és Hujter Bálint (Budapest)
(3 pont)
A beküldési határidő 2026. október 12-én LEJÁRT.
Megoldás. Az \(\displaystyle e\) és \(\displaystyle f\) egyenesek a téglalap alakú asztal szemközi oldalai, tehát párhuzamosak. Feltehetjük, hogy a golyó először az \(\displaystyle e\) oldalról verődik vissza.
1. eset: Az \(\displaystyle AB\) egyenes merőleges az \(\displaystyle e\) és \(\displaystyle f\) falakra. Ekkor a golyó végig az \(\displaystyle AB\) egyenesen pattog oda-vissza, így többször áthalad az \(\displaystyle AB\) szakasz felezőpontján is (1. ábra).
1. ábra
2. eset: Az egyenes \(\displaystyle AB\) nem merőleges a két falra. Legyen az első négy visszapattanás helye rendre \(\displaystyle C\), \(\displaystyle D\), \(\displaystyle E\), illetve \(\displaystyle F\), továbbá legyen az \(\displaystyle FB\) félegyenes metszéspontja az \(\displaystyle e\) egyenessel \(\displaystyle G\), és messe a \(\displaystyle DE\) egyenes \(\displaystyle AB\)-t a \(\displaystyle K\) pontban (2. ábra).
2. ábra
Tekintsük az ábrán megjelölt szögeket. Minden egyes visszaverődéskor a biliárdgolyó addigi és új pályája ugyanakkora szöget zár be a fallal, tehát \(\displaystyle \alpha_1=\alpha_2\), \(\displaystyle \alpha_3=\alpha_4\), \(\displaystyle \alpha_5=\alpha_6\) és \(\displaystyle \alpha_7=\alpha_8\). Az \(\displaystyle e\) és \(\displaystyle f\) párhuzamossága miatt pedig \(\displaystyle \alpha_2=\alpha_3\), \(\displaystyle \alpha_4=\alpha_5\), \(\displaystyle \alpha_6=\alpha_7\) és \(\displaystyle \alpha_8=\alpha_9\). Tehát, a megjelölt szögek mind egyenlők.
Mivel \(\displaystyle \alpha_1=\alpha_5=\alpha_9\), \(\displaystyle AC\parallel DE\parallel FG\); hasonlóan, mivel \(\displaystyle \alpha_2=\alpha_6\), \(\displaystyle CD\parallel EF\). Tehát a \(\displaystyle CDFE\) és \(\displaystyle DFGE\) négyszögek paralelogrammák, mert szemközti oldalaik párhuzamosak, ezért \(\displaystyle CE=DF=EG\).
Végül, a párhuzamos szelők tétele miatt
\(\displaystyle \frac{AK}{KB} = \frac{CE}{EG} = 1, \)
vagyis a \(\displaystyle K\) pont, amelyen a golyó a második és a harmadik visszaverődés között áthalad, az \(\displaystyle AB\) szakasz felezőpontja.
Statisztika:
A B. 5543. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2026. szeptemberi matematika feladatai