A B. 5544. feladat (2026. szeptember)

B. 5544. Egy méhecske táncol az ábrán látható sejteken. Ha az egyik méhsejtből a másikba lép, akkor vagy folytatja az útját tovább egyenesen, vagy \(\displaystyle 120^\circ\)-ot fordulva folytatja tovább, amint azt az ábra is mutatja. Mely mezőkről kezdve tudja végigjárni mind a tizenkilenc sejtet úgy, hogy egyiken sem halad át többször?

Javasolta: Kocsis Szilveszter (Budapest)

(4 pont)

A beküldési határidő 2026. október 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Az alábbi ábrán a sejtrendszert kiszíneztük három színnel (sárga, kék, zöld) úgy, hogy élszomszédos sejtek mindig különböző színűek legyenek. (Nem nehéz meggondolni, hogy egy ilyen színezés lényegében egyértelmű.)

Világos, hogy a táncoló méhecske minden lépésével színt kell váltson. Sőt, még az is teljesül, hogy ha egy \(\displaystyle X\) színű mezőről \(\displaystyle Y\) színűre mezőre lép, akkor a következő lépésben csak a harmadik féle \(\displaystyle Z\) színű mezőre léphet (az \(\displaystyle X\) színre való visszalépés ugyanis \(\displaystyle 60^\circ\)-os vagy \(\displaystyle 180^\circ\)-os fordulatot jelentene).

Ez azt jelenti, hogy a tánc \(\displaystyle A\) színű mezőről \(\displaystyle B\) színűre lépéssel indul (és a harmadik szín \(\displaystyle C\)), akkor ezzel minden egyes lépésnek meghatározott a színe az előző kettő által:

\(\displaystyle A,B,C,A,B,C, A,B,C,A,B,C, A,B,C,A,B,C, A \)

Összesen 19 sejt, azaz tánclépés van, ebből 7 lesz \(\displaystyle A\) színű, míg 6-6 lesz \(\displaystyle B\), ill. \(\displaystyle C\) színű. Az általunk megadott színezésben 7 sárga, 6 kék és 6 zöld mező van, azaz ha minden sejten pont 1-szer jár a méhecske, akkor a táncot kezdő és befejező \(\displaystyle A\) színnek a sárgának kell lennie. Tehát a 7 db sárga mezőről indulva van csak esélye végigjárni a táncot.

Megmutatjuk, hogy a sárga mezők mindegyikéről indulva végig tudja táncolni a sejteket a méhecske. Tekintsük például az alábbi ábrán bemutatott útvonalat.

Ez rögtön ad egy példát a középső sárga mezőről induló táncra. Persze visszafele is bejárhatja ugyanezt az utat. Így az egyik külső sárga mezőről induló táncot kapunk. Az útvonal ábráját a sejtrendszer középpontja körül a \(\displaystyle 60^\circ\) többszöröseivel elforgatva pedig olyan útvonal-ábrákat kapunk, amelyek a maradék 5 sárga mező mindegyikéhez megadnak egy onnan induló, szabályos táncot.

Statisztika:

116 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	58 versenyző.
3 pontot kapott:	19 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	23 versenyző.
0 pontot kapott:	9 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	4 dolgozat.

A KöMaL 2026. szeptemberi matematika feladatai