 |
A B. 5547. feladat (2026. szeptember) |
B. 5547. Bizonyítsuk be, hogy ha egy nem szabályos háromszögben \(\displaystyle {b^2+c^2=2a^2}\), akkor az \(\displaystyle A\) csúcs vetülete felezi a \(\displaystyle BC\) oldal vetületét az Euler-egyenesen.
Javasolta: Keresztély Zsófia (Cambridge, Massachusetts)
(5 pont)
A beküldési határidő 2026. október 12-én LEJÁRT.
Megoldás. Legyen a körülírt kör középpontja \(\displaystyle O\), sugara \(\displaystyle r\), a magasságpont \(\displaystyle M\). Mivel a háromszög nem szabályos, az \(\displaystyle O\) és az \(\displaystyle M\) különbözők, és az Euler-egyenes létezik. Legyen az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\) pontok vetülete az Euler-egyenesen \(\displaystyle A_1\), \(\displaystyle B_1\), illetve \(\displaystyle C_1\). Azt kell igazolnunk, hogy \(\displaystyle {\overrightarrow{B_1A_1}=\overrightarrow{A_1C_1}}\).
Mivel az Euler-egyesen fekvő \(\displaystyle \overrightarrow{OM}\) vektor nem a nullvektor, az állítás ekvivalens azzal, hogy
| \(\displaystyle \overrightarrow{B_1A_1}\cdot\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{A_1C_1}\cdot\overrightarrow{OM}. \) | \(\displaystyle (1) \) |
Legyen \(\displaystyle \overrightarrow{OA}=\mathbf{a}\), \(\displaystyle \overrightarrow{OB}=\mathbf{b}\) és \(\displaystyle \overrightarrow{OC}=\mathbf{c}\). Ekkor \(\displaystyle \mathbf{a}^2=\mathbf{b}^2=\mathbf{c}^2=r^2\), és mint jól ismert, \(\displaystyle \overrightarrow{OM}=\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}\). Továbbá, mivel \(\displaystyle AA_1\), \(\displaystyle BB_1\) és \(\displaystyle CC_1\) is merőleges \(\displaystyle OM\)-re, \(\displaystyle \overrightarrow{AA_1}\cdot\overrightarrow{OM} =\overrightarrow{BB_1}\cdot\overrightarrow{OM} =\overrightarrow{CC_1}\cdot\overrightarrow{OM}=0\). Ezeket felhasználva, az (1) bal oldala
$$\begin{align*} \overrightarrow{B_1A_1}\cdot\overrightarrow{OM} &= \Big(\overrightarrow{B_1B}+\overrightarrow{BO} +\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AA_1}\Big)\cdot\overrightarrow{OM} \\ &=\overrightarrow{B_1B}\cdot\overrightarrow{OM} +\overrightarrow{BO}\cdot\overrightarrow{OM} +\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OM} +\overrightarrow{AA_1}\cdot\overrightarrow{OM} \\ &=0+(-\mathbf{b})(\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}) +\mathbf{a}(\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c})+0 \\ &=\mathbf{a}^2-\mathbf{b}^2+\mathbf{a}\mathbf{c}-\mathbf{b}\mathbf{c} \\ &=\mathbf{a}\mathbf{c}-\mathbf{b}\mathbf{c}, \end{align*}$$és ugyanígy, az (1) jobb oldala
$$\begin{align*} \overrightarrow{A_1C_1}\cdot\overrightarrow{OM} &= \Big(\overrightarrow{A_1A}+\overrightarrow{AO} +\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CC_1}\Big)\cdot\overrightarrow{OM} \\ &=\overrightarrow{A_1A}\cdot\overrightarrow{OM} +\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{OM} +\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OM} +\overrightarrow{CC_1}\cdot\overrightarrow{OM} \\ &=0+(-\mathbf{a})(\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}) +\mathbf{c}(\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c})+0 \\ &=-\mathbf{a}^2+\mathbf{c}^2-\mathbf{a}\mathbf{b}+\mathbf{b}\mathbf{c} \\ &=-\mathbf{a}\mathbf{b}+\mathbf{b}\mathbf{c}. \end{align*}$$Tehát az (1) bizonyításához azt kell ellenőriznünk, hogy \(\displaystyle \mathbf{a}\mathbf{c}-\mathbf{b}\mathbf{c} = -\mathbf{a}\mathbf{b}+\mathbf{b}\mathbf{c}\), avagy
| \(\displaystyle \mathbf{a}\mathbf{b}+\mathbf{a}\mathbf{c}- 2\mathbf{b}\mathbf{c} =0. \) | \(\displaystyle (2) \) |
Az \(\displaystyle \mathbf{a}\), \(\displaystyle \mathbf{b}\), \(\displaystyle \mathbf{c}\) vektorok skaláris szorzatait kifejezhetjük az oldalakkal és a körülírt kör sugarával:
\(\displaystyle \mathbf{a}\mathbf{b} = \frac{\mathbf{a}^2+\mathbf{b}^2-(\mathbf{a}-\mathbf{b})^2}{2} = \frac{r^2+r^2-\overrightarrow{BA}^2}{2} = r^2-\frac{c^2}2, \)
és hasonlóan láthatjuk, hogy \(\displaystyle \mathbf{a}\mathbf{c}=r^2-\dfrac{b^2}2\) és \(\displaystyle \mathbf{b}\mathbf{c}=r^2-\dfrac{a^2}2\). Ezeket behelyettesítve (2) bal oldalába,
\(\displaystyle \mathbf{a}\mathbf{b}+\mathbf{a}\mathbf{c} -2 \mathbf{b}\mathbf{c} = \bigg(r^2-\frac{c^2}2\bigg)+\bigg(r^2-\frac{b^2}2\bigg)-2\bigg(r^2-\frac{a^2}2\bigg) = \frac{2a^2-b^2-c^2}{2}, \)
ami a feladat feltétele szerint \(\displaystyle 0\). Tehát (2) teljesül, és ez bizonyítja a feladat állítását.
Statisztika:
34 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Ambrus Krisztián, Baranyi Ernő, Bense Tamás, Bodor Ádám, Bolla Donát Andor, Bui Thuy-Trang Nikolett, Deli Ádám, Ercse Ferenc, Gál Mózes, Hajba Milán, Hideg János, Kádár Luca Linda, Maróti Olga, Máté Marcell, Mikó Hédi Irma, Molnár 123 Emese , Papirnyy Oleksandr, Papp Mátyás, Pázmándi József Áron, Poczai Dorottya, Rajtik Sándor Barnabás, Sajter Klaus, Sha Jingyuan, Szabó Ábel, Szabó-Caceres Alan Martin, Varga 511 Vivien, Varsányi Benedek, Weng Chenxin, Wiener Marcell (29 versenyző). 3 pontot kapott: 1 versenyző. 2 pontot kapott: 2 versenyző. 0 pontot kapott: 2 versenyző.
A KöMaL 2026. szeptemberi matematika feladatai