 |
A B. 5548. feladat (2026. szeptember) |
B. 5548. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet:
\(\displaystyle \left(\frac{x}{\sqrt{2y-3}}\right)^3+\left(\frac{y}{\sqrt{2x-3}}\right)^3=6\sqrt{3}. \)
Javasolta: Bencze Mihály (Brassó)
(6 pont)
A beküldési határidő 2026. október 12-én LEJÁRT.
1. megoldás. A bal oldali nevezők csak pozitívak lehetnek, így \(\displaystyle x>\frac{3}{2}\) és \(\displaystyle y>\frac{3}{2}\).
Azt fogjuk belátni, hogy minden értelmezett \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) esetén teljesül, hogy
\(\displaystyle \left(\frac{x}{\sqrt{2y-3}}\right)^3+\left(\frac{y}{\sqrt{2x-3}}\right)^3 \geq 6\sqrt{3}, \)
egyenlőség pedig csak az \(\displaystyle x = y = 3\) esetén áll fenn.
Mivel \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) pozitív, alkalmazhatjuk a számtani és a mértani közép közötti összefüggést a \(\displaystyle 2 \left(\frac{x}{\sqrt{2y-3}}\right)^3\) és \(\displaystyle 2 \left(\frac{x}{\sqrt{2y-3}}\right)^3\) számokra:
\(\displaystyle \left(\frac{x}{\sqrt{2y-3}}\right)^3+\left(\frac{y}{\sqrt{2x-3}}\right)^3 \geq \sqrt{2\left( \frac{x}{\sqrt{2y-3}}\right)^3 \cdot 2 \left(\frac{y}{\sqrt{2x-3}}\right)^3} = 2 \sqrt{\left( \frac{x}{\sqrt{2x-3}}\right)^3} \cdot \sqrt{\left(\frac{y}{\sqrt{2y-3}}\right)^3}. \)
Minden \(\displaystyle t > \frac32\) valós számra
\(\displaystyle \frac{t}{\sqrt{2t-3}} \geq \sqrt{3} ~ \Longleftrightarrow ~ \frac{t^2}{2t-3}\ge 3 ~ \Longleftrightarrow ~ t^2\ge 6t-9 ~~ \Longleftrightarrow ~ (t-3)^2\ge 0, \)
egyenlőség csak \(\displaystyle t = 3\) esetén teljesül. Felhasználva a köbfüggvény és a négyzetgyök-függvény monotonitását (pozitív számokon), azt kapjuk, hogy
\(\displaystyle 2 \sqrt{\left( \frac{x}{\sqrt{2x-3}}\right)^3} \cdot \sqrt{\left(\frac{y}{\sqrt{2y-3}}\right)^3} \geq 2 \sqrt{\sqrt{3}^3} \sqrt{\sqrt{3}^3} = 6 \sqrt{3}; \)
egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha \(\displaystyle x = y = 3\). Ilyenkor a megoldást indító számtani-mértani középben is egyenlőség van. Tehát \(\displaystyle x = y = 3\) az egyetlen megoldása az egyenletnek.
2. megoldás. A bal oldali nevezők csak pozitívak lehetnek, így \(\displaystyle x>\frac{3}{2}\) és \(\displaystyle y>\frac{3}{2}\).
Ismét azt fogjuk belátni, hogy minden \(\displaystyle x>\frac{3}{2}\) és \(\displaystyle y>\frac{3}{2}\) esetén teljesül, hogy
\(\displaystyle \left(\frac{x}{\sqrt{2y-3}}\right)^3+\left(\frac{y}{\sqrt{2x-3}}\right)^3 \geq 6\sqrt{3}, \)
egyenlőség pedig csak az \(\displaystyle x = y = 3\) esetén áll fenn.
Ismert, hogy pozitív számok harmadik hatványközepe nagyobb vagy egyenlő, mint a négyzetes közepük. Ezt két számra alkalmazva:
\(\displaystyle \sqrt[3]{\frac{a^3+b^3}{2}}\ge \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}},\)
illetve a harmadik hatványra emelés és \(\displaystyle 2\)-vel szorzás után:
\(\displaystyle a^3+b^3\ge 2\sqrt{\left(\frac{a^2+b^2}{2}\right)^3}=\sqrt{\frac{(a^2+b^2)^3}{2}}.\)
Az egyenlet bal oldalának megfelelően helyettesítsük az egyenlőtlenségbe \(\displaystyle a=\frac{x}{\sqrt{2y-3}}\) és \(\displaystyle b=\frac{y}{\sqrt{2x-3}}\) kifejezéseket. Így
\(\displaystyle \left(\frac{x}{\sqrt{2y-3}}\right)^3+\left(\frac{y}{\sqrt{2x-3}}\right)^3\ge \sqrt{\frac{\left(\frac{x^2}{2y-3}+\frac{y^2}{2x-3}\right)^3}{2}}.\tag{1}\)
A megoldást a két négyzetes tag összegének alsó becslésével folytatjuk.
Ha \(\displaystyle x\ge y>\frac{3}{2}\), akkor \(\displaystyle x^2\ge y^2\), \(\displaystyle 2x-3\ge 2y-3\), vagy másképp \(\displaystyle \frac{1}{2y-3}\ge \frac{1}{2x-3}\), így a rendezési tétel alapján
\(\displaystyle \frac{x^2}{2y-3}+\frac{y^2}{2x-3}\ge \frac{x^2}{2x-3}+\frac{y^2}{2y-3}\)
és egyenlőség csak \(\displaystyle x=y\) esetén.
Most megmutatjuk, hogy \(\displaystyle \frac{x^2}{2x-3}\ge 3\).
\(\displaystyle \frac{x^2}{2x-3}\ge 3 ~ \Longleftrightarrow ~ x^2\ge 6x-9 ~~ \Longleftrightarrow ~ (x-3)^2\ge 0. \)
Tehát
\(\displaystyle \frac{x^2}{2x-3}+\frac{y^2}{2y-3}\ge 6. \)
Ezt a kapott minimum értéket (1)-be helyettesítve
\(\displaystyle \left(\frac{x}{\sqrt{2y-3}}\right)^3+\left(\frac{y}{\sqrt{2x-3}}\right)^3\ge \sqrt{\frac{6^3}{2}}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}.\)
Megmutattuk, hogy az egyenlet bal és jobb oldala akkor és csak akkor egyenlő, ha minden becslésnél egyenlőség teljesül.
Az egyedüli megoldás \(\displaystyle x=y=3\).
Statisztika:
A KöMaL 2026. szeptemberi matematika feladatai