A B. 5549. feladat (2026. szeptember)

B. 5549. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög oldalai különböző hosszúságúak. A háromszög körülírt körének középpontja legyen \(\displaystyle O\). Az \(\displaystyle AO\) átmérőjű kör és a \(\displaystyle BCO\) kör \(\displaystyle O\)-tól különböző metszéspontja legyen \(\displaystyle P\). Hasonlóan a \(\displaystyle BO\) átmérőjű kör és a \(\displaystyle CAO\) kör második metszéspontja legyen \(\displaystyle Q\), a \(\displaystyle CO\) átmérőjű kör és az \(\displaystyle ABO\) kör második metszéspontja pedig \(\displaystyle R\). Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle P\), \(\displaystyle Q\), \(\displaystyle R\) és \(\displaystyle O\) egy körön vannak.

Javasolta: Holló Gábor (Budapest)

(6 pont)

A beküldési határidő 2026. október 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen \(\displaystyle A_1\) a körülírt körhöz \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\) pontokban húzott érintők metszéspontja. Hasonlóan definiáljuk \(\displaystyle B_1\) és \(\displaystyle C_1\) pontokat (tehát az\(\displaystyle A_1B_1C_1\) háromszögben a beírt kör \(\displaystyle ABC\) körülírt köre, és az érintési pontok \(\displaystyle A\), B és \(\displaystyle C\)).

Ekkor \(\displaystyle \angle A_1BO = \angle A_1CO = 90 ^\circ\) mivel \(\displaystyle A_1B\) és \(\displaystyle A_1C\) érintők, tehát \(\displaystyle A_1BOC\) húrnégyszög körülírt köre az \(\displaystyle A_1O\) szakasz Thalész-köre. Tehát \(\displaystyle P\) az \(\displaystyle AO\) és \(\displaystyle A_1O\) szakaszok Thalész-köreinek második metszéspontja, azaz \(\displaystyle \angle APO = \angle A_1PO = 90 ^\circ\), tehát \(\displaystyle P\) rajta van \(\displaystyle AA_1\) egyenesen és \(\displaystyle PO \perp AA_1\). Hasonlóan \(\displaystyle Q\) rajta van a \(\displaystyle BB_1\) egyenesen és \(\displaystyle QO \perp BB_1\), és \(\displaystyle R\) rajta van \(\displaystyle CC_1\) egyenesen és \(\displaystyle RO \perp CC_1\).

Az \(\displaystyle AA_1\), \(\displaystyle BB_1\) és \(\displaystyle CC_1\) egyenesek egy ponton mennek át, az \(\displaystyle A_1B_1C_1\) háromszög Gergonne-pontján. Legyen ez a pont \(\displaystyle G\). Ekkor \(\displaystyle G\) rajta van \(\displaystyle AA_1\) egyenesen, tehát \(\displaystyle GP \perp PO\). Hasonlóan \(\displaystyle GQ \perp QO\) és \(\displaystyle GR \perp RO\), tehát \(\displaystyle P\), \(\displaystyle Q\) és \(\displaystyle R\) pontok rajta vannak \(\displaystyle GO\) Thalész-körén, azaz \(\displaystyle PQRO\) húrnégyszög.

Statisztika:

28 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Benedek Olivér , Bense Tamás, Bodor Ádám, Bolla Donát Andor, Bui Thuy-Trang Nikolett, Ercse Ferenc, Hajba Milán, Kádár Luca Linda, Maróti Olga, Papp Mátyás, Pázmándi József Áron, Rajtik Sándor Barnabás, Sajter Klaus, Sha Jingyuan, Szabó-Caceres Alan Martin, Varga 511 Vivien, Várhegyi Hanna, Wiener Marcell	(18 versenyző).
5 pontot kapott:	Baranyi Ernő, Hideg János, Máté Marcell, Szemán Gergő, Taczman Vince, Varsányi Benedek	(6 versenyző).
2 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2026. szeptemberi matematika feladatai