Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1009. feladat (2009. november)

C. 1009. Az x2-6x+y2-2py+17=0 egyenletű körhöz az origóból két egymásra merőleges érintő húzható. Határozzuk meg p lehetséges értékeit.

(5 pont)

A beküldési határidő 2009. december 10-én LEJÁRT.


Megoldás. A kör egyenletét átalakíthatjuk \(\displaystyle (x-3)^2 + (y-p)^2 =p^2 -8\)-ra. Az origóból (\(\displaystyle O\)) a körhöz húzott érintők érintési pontjai legyenek \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle F\), a kör középpontja \(\displaystyle C\). Mivel az érintők merőlegesek egymásra és az érintők az érintési pontba mutató sugárra is, ezért \(\displaystyle OECF\) négyszög téglalap és deltoid is egyben, azaz négyzet. A négyzet oldalának hossza megegyezik a kör sugarával, ami az átalakított egyenletből \(\displaystyle \sqrt{p^2 - 8}\). A négyzet átlójának hossza \(\displaystyle OC\) szakasz hossza, ami szintén az átalakított egyenletből leolvasható \(\displaystyle \sqrt{3^2 + p^2}\). Mivel az átló \(\displaystyle \sqrt 2\)-szerese a négyzet oldalának, ezért - négyzetreemelés után - \(\displaystyle 9 + p^2 = 2(p^2 -8)\), azaz \(\displaystyle 25=p^2\). Innen \(\displaystyle \mathbf{|p|=5}\).


Statisztika:

187 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:63 versenyző.
4 pontot kapott:61 versenyző.
3 pontot kapott:29 versenyző.
2 pontot kapott:14 versenyző.
1 pontot kapott:5 versenyző.
0 pontot kapott:8 versenyző.
Nem versenyszerű:7 dolgozat.

A KöMaL 2009. novemberi matematika feladatai