A C. 1013. feladat (2009. december)

C. 1013. Ábrázoljuk a sík azon pontjait, amelyek (x;y) koordinátáira teljesül az alábbi két összefüggés:

x²+y²2, .

(5 pont)

A beküldési határidő 2010. január 11-én LEJÁRT.

Megoldás. \(\displaystyle x^2 + y^2 \le 2\) az origó középpontú, \(\displaystyle \sqrt 2\) sugarú körlap pontjainak koordinátáira teljesül. \(\displaystyle -1\le \frac{x}{x+y}\le 1\) teljesül, ha \(\displaystyle x=0\). Legyen \(\displaystyle m=\frac yx\), ha \(\displaystyle x\ne 0\)-val egyszerűsítve a \(\displaystyle -1\le \frac{1}{1+m}\le 1\) egyenlőtlenségeket vizsgáljuk. \(\displaystyle \frac{1}{1+m}\le 1\) akkor teljesül, ha \(\displaystyle m\ge 0\) vagy \(\displaystyle m< -1\). \(\displaystyle -1\le \frac{1}{1+m}\) pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle 0\le \frac{2+m}{1+m}\), azaz \(\displaystyle 2+m\ge 0\) és \(\displaystyle 1+m>0\) vagy \(\displaystyle 2+m\le 0\) és \(\displaystyle 1+m<0\). Az első \(\displaystyle m>-1\) esetén teljesül, a második eset akkor, ha \(\displaystyle m\le -2\). Az eredeti egyenlőtlenségek egyszerre akkor teljesülnek, ha \(\displaystyle m\ge 0\) vagy \(\displaystyle m\le -2\) és \(\displaystyle x\ne 0\). A pontok a két csíkozott körcikk belsejében és határárán vannak az origó kivételével.

Statisztika:

199 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	78 versenyző.
4 pontot kapott:	50 versenyző.
3 pontot kapott:	19 versenyző.
2 pontot kapott:	14 versenyző.
1 pontot kapott:	19 versenyző.
0 pontot kapott:	13 versenyző.
Nem versenyszerű:	6 dolgozat.

A KöMaL 2009. decemberi matematika feladatai