A C. 1103. feladat (2011. december)

C. 1103. Gábor a szakkörön összeszorzott két pozitív számot. Érdekesnek találta, hogy ha a két számot összeadja, ugyanaz az eredmény. A számokat már elfelejtette, de arra emlékszik, hogy mindkét szám egyetlen tizedesjegyet tartalmazott. Melyek lehetnek ezek a számok?

(5 pont)

A beküldési határidő 2012. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A két szám (\(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\)) összege is legfeljebb egy tizedesjegyet tartalmaz, így a szorzáskor kapott szám számjegyeiben a századok helyén 0 van, ezért az eredeti számok \(\displaystyle n,5\) és \(\displaystyle m,k\) alakúak, ahol \(\displaystyle k\) nemnulla páros szám. A keresett számokat közönséges törtalakba írva \(\displaystyle \frac N2\) és \(\displaystyle \frac M5\)-ként (\(\displaystyle N\) és \(\displaystyle M\) egészek) a szorzat és összeg \(\displaystyle \frac N2 + \frac M5 = \frac{NM}{10}\), azaz \(\displaystyle 5N+2M=NM\). \(\displaystyle M=\frac{5N}{N-2}=5+\frac{10}{N-2}\) alapján 10 osztóit keressük. Mivel \(\displaystyle N\ge 1\), ezért a legkisebb osztó a -1 lehet. A lehetséges számpárok:

A táblázat tartalmazza azokat a számpárokat is, melyek nem felelnel meg a feladat azon követelményének, hogy mindkét számnak pontosan egyetlen tizedesjegye legyen.

Gábor az 1,4 és 3,5 számokat szorozta össze.

Statisztika:

252 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	155 versenyző.
4 pontot kapott:	13 versenyző.
3 pontot kapott:	11 versenyző.
2 pontot kapott:	32 versenyző.
1 pontot kapott:	11 versenyző.
0 pontot kapott:	16 versenyző.
Nem versenyszerű:	14 dolgozat.

A KöMaL 2011. decemberi matematika feladatai