Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1107. feladat (2012. január)

C. 1107. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert a valós számpárok halmazán:

3x2-xy+3y2=16,

7x2-4xy+7y2=38.

(5 pont)

A beküldési határidő 2012. február 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Vonjuk ki az első egyenlet kétszeresét a második egyenletből: a bal oldal szorzattá alakítható: \(\displaystyle (x-y)^2=6\).

Vonjuk ki az első egyenlet négyszereséből a második egyenletet: \(\displaystyle 5x^2+5y^2=26\).

Az első összefüggésből \(\displaystyle x=y\pm \sqrt 6\), amit a másodikba helyettesítve és osztva 10-zel az \(\displaystyle 2y^2 \pm\sqrt 6 y +0,8=0\) egyenletet kapjuk. Ennek megoldásai a \(\displaystyle \frac{\mp\sqrt6\pm \sqrt{4,4}}{2}=\mp \sqrt{1,5}\pm\sqrt{1,1}\).

Az egyenletrendszer megoldásai:

\(\displaystyle x\) \(\displaystyle y\)
\(\displaystyle \sqrt{1,5}+\sqrt{1,1}\) \(\displaystyle -\sqrt{1,5}+\sqrt{1,1}\)
\(\displaystyle \sqrt{1,5}-\sqrt{1,1}\) \(\displaystyle -\sqrt{1,5}-\sqrt{1,1}\)
\(\displaystyle -\sqrt{1,5}+\sqrt{1,1}\) \(\displaystyle \sqrt{1,5}+\sqrt{1,1}\)
\(\displaystyle -\sqrt{1,5}-\sqrt{1,1}\) \(\displaystyle \sqrt{1,5}-\sqrt{1,1}\)

Statisztika:

279 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:164 versenyző.
4 pontot kapott:51 versenyző.
3 pontot kapott:31 versenyző.
2 pontot kapott:16 versenyző.
1 pontot kapott:6 versenyző.
0 pontot kapott:5 versenyző.
Nem versenyszerű:6 dolgozat.

A KöMaL 2012. januári matematika feladatai