A C. 1173. feladat (2013. május)

C. 1173. Adott az  egyenletű egyenes. Mekkora az egyenestől való távolsága azoknak az egész koordinátájú pontoknak, amelyek a legközelebb vannak az egyeneshez, de nem illeszkednek rá?

(5 pont)

A beküldési határidő 2013. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Tekintsük az ábrát. Látható, hogy elég az \(\displaystyle OP\) szakasz pontjait vizsgálni, hiszen az elhelyezkedés ismétlődik. Itt pedig elég a fekete pontoknak az egyenestől való távolságát vizsgálni. Mindegyik távolság egy derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magassága: az \(\displaystyle A\) ponté az \(\displaystyle OAN\), a \(\displaystyle B\) ponté a \(\displaystyle BCN\) stb., a \(\displaystyle H\) ponté a \(\displaystyle THN\), az \(\displaystyle I\) ponté a \(\displaystyle TIP\) stb., az \(\displaystyle M\) ponté a \(\displaystyle VMP\) háromszög magassága. Ezek a háromszögek mind hasonlók egymáshoz, hiszen derékszögűek, és egyik hegyeszögük is megegyezik, hiszen tangense mindegyik esetben \(\displaystyle 7/2\). Hasonló háromszögek közül annak a megfelelő magassága a legkisebb, amelyiknek a hosszabbik befogója a legkisebb a háromszögek közül. Ez a mi esetünkben az \(\displaystyle SGN\) és a \(\displaystyle THN\) háromszög, melyek hosszabbik befogója 1/2, vagyis az \(\displaystyle OWP\) háromszög befogójának 14-ede. Az \(\displaystyle OWP\) háromszög területének kétszerese: \(\displaystyle 2t=2\cdot7=\sqrt{2^2+7^2}\cdot m\), amiből \(\displaystyle m=\frac{14}{\sqrt{53}}\). A keresett távolság ennek a 14-ed része, vagyis \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{53}}\).

Statisztika:

84 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	52 versenyző.
4 pontot kapott:	15 versenyző.
3 pontot kapott:	7 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.

A KöMaL 2013. májusi matematika feladatai