 |
A C. 1193. feladat (2013. november) |
C. 1193. Egy egységoldalú négyzet minden oldalára kifelé rajzolunk egy-egy 120o-os szárszögű egyenlőszárú háromszöget, és így egy egyenlő oldalú nyolcszöget kapunk. Tekintsük továbbá azt a szabályos nyolcszöget, aminek minden második csúcsát összekötve egy egységnyi oldalú négyzetet kapunk. Hányszorosa lesz az egyenlőoldalú nyolcszög területe a szabályos nyolcszög területének?
(5 pont)
A beküldési határidő 2013. december 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Egy \(\displaystyle 120^{\circ}\)-os szárszögű egyenlő szárú háromszög alapon fekvő szögei \(\displaystyle 30^{\circ}\)-osak. Így az egyenlő oldalú nyolcszög oldalainak hossza pl. az \(\displaystyle ACF\) derékszögű háromszögből számolható: \(\displaystyle \cos30^{\circ}=AF/AC\), vagyis \(\displaystyle \sqrt3/2=(1/2)/AC\), amiből \(\displaystyle AC=1/\sqrt3\).
A nyolcszög területe az 1 oldalú négyzet és négy, az \(\displaystyle ABC\) háromszöggel egybevágó háromszög területének összegeként áll elő:
\(\displaystyle T_1=1+4\cdot1/2\cdot(1/\sqrt3)^2\cdot\sin120^{\circ}= 1+4\cdot1/2\cdot(1/3)\cdot(\sqrt3/2)=1+\sqrt3/3.\)
A szabályos nyolcszög köré írt kör sugara az egységoldalú négyzet átlójának fele, vagyis \(\displaystyle \sqrt2/2\). A nyolcszög területe megkapható nyolc egyenlő szárú háromszög területének összegeként:
\(\displaystyle T_2=8\cdot1/2\cdot(\sqrt2/2)^2\cdot\sin45^{\circ}=\)
\(\displaystyle =8\cdot1/2\cdot2/4\cdot\sqrt2/2=\sqrt2.\)
A keresett arány:
\(\displaystyle \frac{T_1}{T_2}=\frac{1+\frac{\sqrt3}{3}}{\sqrt2}=\frac{3\sqrt2+\sqrt6}{6}\approx1,12.\)
Statisztika:
200 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 110 versenyző. 4 pontot kapott: 46 versenyző. 3 pontot kapott: 24 versenyző. 2 pontot kapott: 7 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 6 versenyző. Nem versenyszerű: 6 dolgozat.
A KöMaL 2013. novemberi matematika feladatai