A C. 1217. feladat (2014. március)

C. 1217. Bizonyítsuk be, hogy hét tetszőleges egész szám közül ki lehet választani négyet úgy, hogy összegük osztható legyen 4-gyel.

(5 pont)

A beküldési határidő 2014. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Három egész szám között van kettő, amelyek ugyanolyan paritásúak. Ezek összege osztható kettővel.

A fentiek miatt hét szám között is van kettő ilyen, legyenek ezek \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\). A maradék öt szám között is találunk két ilyen számot, legyenek ezek \(\displaystyle z\) és \(\displaystyle s\). Három szám marad, melyek között ismét találunk kettőt, melyek összege osztható 2-vel, legyenek ezek \(\displaystyle t\) és \(\displaystyle v\). Ekkor \(\displaystyle \frac{x+y}{2}\), \(\displaystyle \frac{z+s}{2}\) és \(\displaystyle \frac{t+v}{2}\) is egész (hiszen a számlálók 2-vel oszthatók), így ezek között is van kettő, melyek összege páros. Legyen ez a két szám \(\displaystyle \frac{x+y}{2}\) és \(\displaystyle \frac{t+v}{2}\). Ekkor \(\displaystyle \frac{\frac{x+y}{2}+\frac{t+v}{2}}{2}=\frac{x+y+t+v}{4}\) is egész szám, tehát \(\displaystyle x+y+t+v\) osztható 4-gyel.

Döbröntei Dávid Bence (Pápa, Türr István Gimn., 9. évf.)

Statisztika:

89 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	54 versenyző.
4 pontot kapott:	11 versenyző.
3 pontot kapott:	9 versenyző.
2 pontot kapott:	7 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2014. márciusi matematika feladatai