A C. 1232. feladat (2014. május)

C. 1232. Egy háromszögben a \(\displaystyle b\) oldalhoz tartozó súlyvonal hossza kétszer olyan hosszú, mint a \(\displaystyle c\) oldalhoz tartozó súlyvonal és merőleges rá. Mekkora a háromszög kerülete, ha az \(\displaystyle a\) oldalhoz tartozó súlyvonal hossza 60 cm?

(5 pont)

A beküldési határidő 2014. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Használjuk a szokásos jelöléseket. Legyen az \(\displaystyle F_CS\) szakasz hossza \(\displaystyle x\). Ekkor \(\displaystyle SC=2x\), \(\displaystyle SF_B=2x\) és \(\displaystyle SB=4x\). Mivel az \(\displaystyle SCB\) háromszög derékszögű, felírhatjuk rá a Pitagorasz-tételt: \(\displaystyle (2x)^2+(4x)^2=a^2\), amiből \(\displaystyle a=2\sqrt5x\), és innen \(\displaystyle BF_A=\sqrt5x\).

Az \(\displaystyle F_CSB\) derékszögű háromszögre felírva a Pitagorasz-tételt: \(\displaystyle F_CB^2=x^2+(4x)^2=17x^2\), amiből \(\displaystyle F_CB=\sqrt{17}x\), és így \(\displaystyle c=2\sqrt{17}x\).

Az \(\displaystyle SCF_B\) derékszögű háromszögre felírva a Pitagorasz-tételt: \(\displaystyle F_BC^2=(2x)^2+(2x)^2=8x^2\), amiből \(\displaystyle F_BC=\sqrt{8}x\), és így \(\displaystyle b=2\sqrt{8}x\).

Tudjuk, hogy \(\displaystyle AF_A=60\), aminek \(\displaystyle SF_A\) a harmada, vagyis \(\displaystyle SF_A=20\). A Thalesz-tétel megfordítása miatt \(\displaystyle SF_A=BF_A\), vagyis \(\displaystyle 20=\sqrt5x\), amiből \(\displaystyle x=4\sqrt5\).

A kerület tehát:

\(\displaystyle k=2\sqrt5\cdot4\sqrt5+2\sqrt{17}\cdot4\sqrt5+2\sqrt8\cdot4\sqrt5\approx164,35~{\rm(cm)}.\)

Statisztika:

64 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	55 versenyző.
4 pontot kapott:	4 versenyző.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2014. májusi matematika feladatai