A C. 1241. feladat (2014. szeptember)

C. 1241. Oldjuk meg a következő egyenletet:

\(\displaystyle \left(\frac{x-1}{2} \right)^{2} + \frac12 = \left|\frac{4x}{x+3}\right| - \frac12. \)

(5 pont)

A beküldési határidő 2014. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A \(\displaystyle \frac{4x}{x+3}\) előjele szerint két esetre bontjuk a megoldást (nyilván \(\displaystyle x\neq-3\)).

I. eset: \(\displaystyle x<-3\) vagy \(\displaystyle x\geq0\). Ekkor az egyenlet:

\(\displaystyle \left(\frac{x-1}{2} \right)^{2} + \frac12 = \frac{4x}{x+3} - \frac12. \)

Mindkét oldalt szorozva \(\displaystyle 4(x+3)\)-mal:

\(\displaystyle (x-1)^2(x+3)+2(x+3)=16x-2(x+3),\)

a zárójeleket felbontva és rendezve:

\(\displaystyle x^3+x^2-17x+15=0.\)

Behelyettesítve \(\displaystyle x=1\)-et, az megoldást ad, így a kifejezés felbontható:

\(\displaystyle (x-1)(x^2+2x-15)=0.\)

A másodfokú egyenletet megoldva még két megoldást kapunk: \(\displaystyle x_2=3\) és \(\displaystyle x_3=-5\). Mindhárom megoldás a megadott intervallumok egyikébe esik.

II. eset: \(\displaystyle -3<x<0\). Ekkor az egyenlet és átalakításai:

\(\displaystyle \left(\frac{x-1}{2} \right)^{2} + \frac12 = \frac{-4x}{x+3} - \frac12, \)

\(\displaystyle x^3+x^2+15x+15=0.\)

Ekkor \(\displaystyle x=-1\) gyök, így azt kapjuk, hogy \(\displaystyle (x+1)(x^2+15)=0\). Mivel \(\displaystyle x^2+15>0\), így itt csak egy gyököt kaptunk: \(\displaystyle x_4=-1\).

A megoldások: \(\displaystyle x_1=1\), \(\displaystyle x_2=3\), \(\displaystyle x_3=-5\) és \(\displaystyle x_4=-1\).

Statisztika:

248 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	145 versenyző.
4 pontot kapott:	46 versenyző.
3 pontot kapott:	15 versenyző.
2 pontot kapott:	10 versenyző.
1 pontot kapott:	12 versenyző.
0 pontot kapott:	17 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

A KöMaL 2014. szeptemberi matematika feladatai