A C. 1404. feladat (2017. február)

C. 1404. Az \(\displaystyle ABC\) egyenlő szárú háromszög \(\displaystyle AB\) alapjának \(\displaystyle F\) felezőpontjából a \(\displaystyle BC\) oldalra bocsátott merőleges talppontja \(\displaystyle D\). Az \(\displaystyle FD\) szakasz felezőpontja \(\displaystyle G\). Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle AD\) merőleges \(\displaystyle CG\)-re.

(5 pont)

A beküldési határidő 2017. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Használjuk az ábra jelöléseit. Legyen a \(\displaystyle BD\) szakasz felezőpontja \(\displaystyle H\), így \(\displaystyle FH\) a \(\displaystyle BFD\) háromszög súlyvonala. A \(\displaystyle DCF\) és \(\displaystyle BFD\) derékszögű háromszögek hasonlóak, mert megfelelő hegyesszögeik merőleges szárú szögpárokat képeznek.

A hasonlóság miatt a két háromszögben a berajzolt súlyvonalak és az átfogók által bezárt szög is megegyezik: \(\displaystyle BFH∡=FCG∡=\varepsilon\).

A szögek egyik szára merőleges egymásra, \(\displaystyle BF⊥FC\), ezért \(\displaystyle FH⊥CG\).

\(\displaystyle FH\) az \(\displaystyle ABD\) háromszög középvonala, hiszen az oldalfelező pontjait köti össze, ezért \(\displaystyle FH‖AD\). Ebből már következik, hogy \(\displaystyle AD⊥CG\).

Statisztika:

33 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Agócs Katinka, Édes Lili, Horváth 31 László, Kocsis Júlia, Komoróczy Ádám, Kormányos Hanna Rebeka, Magyar 257 Boglárka, Mészáros Melinda, Nagy Olivér, Németh Csilla Márta, Rittgasszer Ákos, Surján Anett, Szécsi Adél Lilla, Szilágyi Éva, Takács 666 Réka, Tanács Viktória, Tatai Mihály, Thuróczy Mylan, Török Boldizsár, Zsombó István.
4 pontot kapott:	Kocsis Ábel, Wolff Vilmos.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.

A KöMaL 2017. februári matematika feladatai