A C. 1599. feladat (2020. március)

C. 1599. Oldjuk meg a természetes számpárok halmazán a következő egyenletet:

\(\displaystyle 2y^2-2x^2-3xy+3x+y=13. \)

Javasolta: Imre Tamás (Marosvásárhely)

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. április 14-én LEJÁRT.

Megoldás. Vonjunk ki mindkét oldalból 1-et, majd alakítsuk szorzattá az új egyenlet bal oldalát:

\(\displaystyle (-2x+y+1)(x+2y-1)=12.\)

Azaz a bal oldal két tényezője osztópárja a 12-nek. Mielőtt az eseteket megvizsgálnánk, jegyezzük meg, hogy mivel \(\displaystyle x,y\) természetes számok, így \(\displaystyle x+2y-1\geq -1\). Tehát \(\displaystyle (x+2y-1)\in \{-1,1,2,3,4,6,12\}\).

Először oldjuk meg paraméterek segítségével a feladatot. Legyen \(\displaystyle -2x+y+1=a\) és \(\displaystyle x+2y-1=b\) úgy, hogy \(\displaystyle (a,b)\) osztópárja a 12-nek. A második egyenlőségből fejezzük ki \(\displaystyle x\)-et: \(\displaystyle x=b+1-2y\), majd ezt helyettesítsük vissza az elsőbe: \(\displaystyle -2(b+1-2y)+y+1=a\), amiből \(\displaystyle y=\frac{a+2b+1}{5}\). Ezt behelyettesítve \(\displaystyle x=\frac{b-2a+3}{5}\) adódik.

Most nézzük meg az eseteket külön-külön, azaz helyettesítsük be \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) helyére a lehetséges értékeket:

• \(\displaystyle a=-12\) és \(\displaystyle b=-1\)
  Ekkor \(\displaystyle y=-\frac{13}{5}\), azaz ebben az esetben nincs megoldás.
• \(\displaystyle a=12\) és \(\displaystyle b=1\)
  Ekkor \(\displaystyle y=3\) és \(\displaystyle x=-4\), ami szintén nem ad megoldást a természetes számok körében.
• \(\displaystyle a=6\) és \(\displaystyle b=2\)
  Ekkor \(\displaystyle y=\frac{11}{5}\), ami nem ad megoldást a természetes számok körében.
• \(\displaystyle a=4\) és \(\displaystyle b=3\)
  Ekkor is azt kapjuk, hogy \(\displaystyle y=\frac{11}{5}\), ami szintén nem ad megoldást a természetes számok körében.
• \(\displaystyle a=3\) és \(\displaystyle b=4\)
  Ekkor \(\displaystyle y=\frac{12}{5}\), ami szintén nem ad megoldást a természetes számok körében.
• \(\displaystyle a=2\) és \(\displaystyle b=6\)
  Ekkor kapjuk, hogy \(\displaystyle y=3\) és \(\displaystyle x=1\), amit visszahelyettesítve a kiindulási egyenletbe egyenlőséget kapunk, azaz ez a számpár megoldás.
• \(\displaystyle a=1\) és \(\displaystyle b=12\)
  Ekkor \(\displaystyle y=\frac{26}{5}\), ami szintén nem ad megoldást a természetes számok körében.

Tehát az \(\displaystyle x=1,y=3\) számpár a(z egyetlen) megoldása az egyenletnek.

Statisztika:

108 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Arató Zita, Bacsek Bálint , Barát Benedek, Cserkuti Sándor, Csonka Illés, Deák Gergely, Dékány Csaba, Domján Olivér, Feczkó Nóra, Fekete Patrik, Foris Dávid, Gombos Gergely , Hajdú Bálint, Halász Henrik, Inokai Dávid, Kalocsai Zoltán, Kelemen Anna, Kis 194 Károly, Koleszár Domonkos, Metzger Ábris András, Molnár Réka, Németh László Csaba, Pálfi Fruzsina Karina, Rács Zsóka, Róth Rebeka, Sebestyén József Tas, Somogyi Dalma, Stein Felix, Szabó Réka, Szakács Domonkos, Szalanics Tamás, Székely Milán, Szigeti Donát, Vakaris Klyvis, Varga Boldizsár, Viharos Márta Judit, Xu Yiling.
4 pontot kapott:	25 versenyző.
3 pontot kapott:	9 versenyző.
2 pontot kapott:	11 versenyző.
1 pontot kapott:	14 versenyző.
0 pontot kapott:	12 versenyző.

A KöMaL 2020. márciusi matematika feladatai