A C. 1619. feladat (2020. szeptember)

C. 1619. Egy hegyesszögű háromszög mindhárom oldalfelező pontjából merőlegest állítunk a másik két oldalra. Bizonyítsuk be, hogy a behúzott szakaszok által meghatározott hatszög területe a háromszög területének felével egyenlő.

(Horvát feladat)

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. október 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Használjuk az ábra jelöléseit! Az \(\displaystyle ABC\) hegyesszögű háromszög oldalfelezőpontjai tehát \(\displaystyle D,E,F\), az ezekből indított merőlegesek talppontjai pedig (az ábra szerint) \(\displaystyle P,Q,R,S,T,U\).

A háromszöget a középvonalai négy egybevágó háromszögre osztják, melyek hasonlók \(\displaystyle ABC\)-hez:
\(\displaystyle AFE,\ FBD,\ EDC,\ DEF\). Ezeknek a háromszögeknek \(\displaystyle 2-2\) magasságát húztuk be, ezek talppontjai a megfelelői oldalak belső pontjai, hiszen a háromszögek hegyesszögűek. Mindhárom háromszögben húzzuk be a harmadik magasságvonalat is, és jelöljük a magasságpontokat \(\displaystyle M_A,M_B,M_C\)-vel. A kérdéses hatszög \(\displaystyle DM_CEM_AFM_B\).

Az \(\displaystyle AFE,\ FBD,\ EDC\) háromszögek egybevágósága alapján világos, hogy \(\displaystyle AFM_A\) és \(\displaystyle EDM_C\) egybevágók, valamint \(\displaystyle AM_AE\) és \(\displaystyle FM_BD\) is egybevágók. Így \(\displaystyle T_{M_AFE}+T_{FM_BD}+T_{EDM_C}=T_{M_AFE}+T_{AM_AE}+T_{AFM_A}=T_{AFE}=\frac{1}{4} T_{ABC}.\) Ez alapján pedig

\(\displaystyle T_{DM_CEM_AFM_B}=T_{M_AFE}+T_{FM_BD}+T_{EDM_C}+T_{DEF}=\frac{1}{4} T_{ABC}+\frac{1}{4} T_{ABC}=\frac{1}{2} T_{ABC}.\)

Ezzel megmutattuk, hogy a kérdéses hatszög területe a háromszög területének felével egyenlő.

Statisztika:

185 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	71 versenyző.
4 pontot kapott:	40 versenyző.
3 pontot kapott:	25 versenyző.
2 pontot kapott:	16 versenyző.
1 pontot kapott:	21 versenyző.
0 pontot kapott:	11 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2020. szeptemberi matematika feladatai