 |
A C. 1662. feladat (2021. március) |
C. 1662. Az \(\displaystyle a>0\) valós paraméter mely értéke esetén lesz az \(\displaystyle x^2+a=\sqrt{x-a}\) egyenletnek pontosan egy megoldása a valós számok halmazán? Mi ekkor az egyenlet megoldása?
(5 pont)
A beküldési határidő 2021. április 12-én LEJÁRT.
Megoldás. Az egyenlet akkor értelmes, ha \(\displaystyle x\geq a\). Ekkor a négyzetre emelés ekvivalens átalakítás, hiszen \(\displaystyle x^2+a\) mindenképpen pozitív:
\(\displaystyle (x^2+a)^2=x-a,\)
\(\displaystyle x^4+2ax^2+a^2=x-a.\)
Az egyenletet rendezve:
\(\displaystyle x^4+2ax^2-x+a^2+a=0.\)
Vegyük észre, hogy a bal oldalon álló polinom szorzattá alakítható a következő módon:
\(\displaystyle x^4+2ax^2-x+a^2+a=(x^2-x+a)(x^2+x+a+1).\)
Az egyenlet megoldásai tehát az \(\displaystyle x^2-x+a\) és az \(\displaystyle x^2+x+a+1\) polinomok gyökei közül az \(\displaystyle a\)-nál nem kisebbek.
Mivel \(\displaystyle 0<a\leq x\), ezért \(\displaystyle x^2+x+a+1>0\), tehát ennek a tényezőnek nincs valós gyöke.
Az \(\displaystyle x^2-x+a\) polinom diszkriminánsa \(\displaystyle 1-4a\), így az \(\displaystyle x^2-x+a=0\) egyenletnek \(\displaystyle a=1/4\) esetén egy, \(\displaystyle a<1/4\) esetén két valós megoldása van, \(\displaystyle a>1/4\) esetén pedig nincs valós megoldás. Ebből rögtön látható, hogy pontosan egy, \(\displaystyle a\)-nál nem kisebb megoldás csak \(\displaystyle a\leq 1/4\) esetén lehetséges.
Ha \(\displaystyle a<1/4\), akkor az \(\displaystyle x^2-x+a=0\) egyenletnek két megoldása van, és mivel \(\displaystyle x<a\) esetén \(\displaystyle x^2-x+a=x^2-(x-a)>0\), ezért mindkét megoldás értéke legalább \(\displaystyle a\), vagyis ebben az esetben az eredeti egyenletnek is 2 megoldása van.
Tehát csak \(\displaystyle a=1/4\) lehetséges. Ekkor az \(\displaystyle x^2-x+a=x^2-x+1/4=0\) egyenlet egyetlen megoldása \(\displaystyle x=1/2\), amire teljesül \(\displaystyle x=1/2\geq 1/4=a\), vagyis ez az érték az eredeti egyenletnek is megoldása.
Tehát az egyenletnek csak \(\displaystyle a=1/4\) esetén van pontosan egy megoldása, ami \(\displaystyle x=1/2\).
Megjegyzés. Ha \(\displaystyle 0<a<1/4\), akkor 2 megoldás van, ha \(\displaystyle 1/4<a\), akkor nincs megoldás.
Statisztika:
125 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 72 versenyző. 4 pontot kapott: 8 versenyző. 3 pontot kapott: 17 versenyző. 2 pontot kapott: 6 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 15 versenyző. Nem versenyszerű: 6 dolgozat.
A KöMaL 2021. márciusi matematika feladatai