A C. 1670. feladat (2021. április) |
C. 1670. Legyenek \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) tetszőleges egész számok, amelyekre \(\displaystyle 3a-2b\) osztható \(\displaystyle 13\)-mal. Bizonyítsuk be, hogy ekkor \(\displaystyle 4a+19b\) és \(\displaystyle 38a+57b\) is osztható \(\displaystyle 13\)-mal.
(5 pont)
A beküldési határidő 2021. május 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Ha \(\displaystyle 13\mid 3a-2b\), akkor \(\displaystyle 13\mid 10(3a-2b)=30a-20b\) is teljesül. Mivel
\(\displaystyle 4a+19b=(30a-20b)-26a+39b=(30a-20b)+13(-2a+3b),\)
ezért ebből az is következik, hogy \(\displaystyle 4a+19b\) osztható 13-mal.
Ehhez hasonlóan, mivel \(\displaystyle 13\mid 3a-2b\), ezért \(\displaystyle 13\mid 4(3a-2b)=12a-8b\). Mivel
\(\displaystyle 38a+57b=(12a-8b)+26a+65b=(12a-8b)+13(2a+5b),\)
ezért ebből az is következik, hogy \(\displaystyle 38a+57b\) osztható 13-mal.
Megjegyzés. A két esetben a 10-es, illetve a 4-es szorzót úgy választottuk meg, hogy szorzás után \(\displaystyle a\) együtthatója ugyanannyi maradékot adjon 13-mal osztva, mint 4, illetve 38. A megadott értékek mellett ez ekkor \(\displaystyle b\) együtthatójára is fennállt.
Statisztika:
27 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Andó Lujza, Biró 424 Ádám, Dobi Dorina Lili, Egyházi Hanna, Féger Tamás, Fekete András Albert, Flódung Áron , Fórizs Botond, Horváth 828 Mátyás, Horváth Antal, Kadem Aziz, Kelemen Anna, Kosóczki Balázs, Molnár Réka, Németh László Csaba, Rátki Gergely, Schneider Anna, Szabó András József , Szalanics Tamás, Szirmai Dénes, Téglás Panna, Varga 601 Zalán, Xu Yiling, Zaránd Andris. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2021. áprilisi matematika feladatai