 |
A C. 1755. feladat (2023. február) |
C. 1755. Milyen \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) egész számokra teljesül az \(\displaystyle a^2+b^2-8c=6\) egyenlőség?
(Kanadai feladat)
(5 pont)
A beküldési határidő 2023. március 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Rendezés után az \(\displaystyle a^2+b^2=8c+6\) egyenlőséget kapjuk, amelyről az alábbiakban belátjuk, hogy semmilyen \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) egész számra nem teljesül.
1. bizonyítás. Minden egész szám felírható \(\displaystyle 4k\), \(\displaystyle 4k+1\), \(\displaystyle 4k+2\) vagy \(\displaystyle 4k+3\) alakban (\(\displaystyle k \in \mathbb{Z}\)), ezeket négyzetre emelve a következőket kapjuk:
\(\displaystyle (4k)^2=16k^2\), amely osztható \(\displaystyle 8\)-cal;
\(\displaystyle (4k+1)^2=16k^2+8k+1\), amelynek \(\displaystyle 8\)-cal való osztási maradéka \(\displaystyle 1\);
\(\displaystyle (4k+2)^2=16k^2+16k+4\), amelynek \(\displaystyle 8\)-cal való osztási maradéka \(\displaystyle 4\); illetve
\(\displaystyle (4k+3)^2=16k^2+24k+9\), amelynek \(\displaystyle 8\)-cal való osztási maradéka szintén \(\displaystyle 1\).
A fentiekből következik, hogy a kapott egyenlőség bal oldalán álló \(\displaystyle a^2+b^2\), amely két négyzetszám összege, \(\displaystyle 8\)-cal osztva \(\displaystyle 0, 1, 2, 4\) vagy \(\displaystyle 5\) maradékot ad, míg a jobb oldalon lévő \(\displaystyle 8c+6\) minden \(\displaystyle c\) egészre \(\displaystyle 6\) maradékot ad \(\displaystyle 8\)-cal osztva, így a bal és a jobb oldal nem lehet egyenlő egymással.
2. bizonyítás. A jobb oldal értéke minden \(\displaystyle c\) egészre páros, hiszen \(\displaystyle a^2+b^2=2(4c+3)\), így a bal oldal értékének is párosnak kell lennie, azaz a két tag ugyanolyan paritású.
1. eset Ha \(\displaystyle a^2\) és \(\displaystyle b^2\) páros, akkor \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) is az, így \(\displaystyle a=2m\) és \(\displaystyle b=2n\) alakú, ahol \(\displaystyle m\) és \(\displaystyle n\) egész szám. Behelyettesítés után \(\displaystyle 4m^2+4n^2=2(4c+3),\) amelyből \(\displaystyle 2m^2+2n^2=4c+3\) következik. Ez pedig nem teljesülhet, mert a bal oldalon páros, míg a jobb oldalon páratlan szám szerepel.
2. eset Ha \(\displaystyle a^2\) és \(\displaystyle b^2\) páratlan, akkor \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) is páratlan, azaz \(\displaystyle a=2m+1\) és \(\displaystyle b=2n+1\) alakú, ahol \(\displaystyle m\) és \(\displaystyle n\) is egész szám. Ezeket behelyettesítve az \(\displaystyle 4m^2+4m+1+4n^2+4n+1=8c+6\) egyenlőséghez jutunk. Mindkét oldalból kivonunk \(\displaystyle 2\)-t, majd osztunk \(\displaystyle 4\)-gyel, így \(\displaystyle m^2+m+n^2+n=2c+1\), amelyből \(\displaystyle m(m+1)+n(n+1)=2c+1\) következik. Ekkor \(\displaystyle m(m+1)\) páros, hiszen két egymást követő egész szám szorzata, hasonlóképpen \(\displaystyle n(n+1)\) is páros, így összegük is az. Ez pedig nem teljesülhet, hiszen a jobb oldalon álló \(\displaystyle 2c+1\) páratlan.
Statisztika:
119 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 79 versenyző. 4 pontot kapott: 8 versenyző. 3 pontot kapott: 4 versenyző. 2 pontot kapott: 5 versenyző. 1 pontot kapott: 5 versenyző. 0 pontot kapott: 2 versenyző. Nem versenyszerű: 10 dolgozat.
A KöMaL 2023. februári matematika feladatai