 |
A C. 1762. feladat (2023. március) |
C. 1762. Létezik-e olyan pozitív \(\displaystyle p\) prímszám, amelyre teljesül, hogy
\(\displaystyle \log_{p-2}(4p-11)=m, \)
ha az \(\displaystyle m\) paraméter a \(\displaystyle 2023\) valamelyik számjegye?
Javasolta: Bíró Bálint (Eger)
(5 pont)
A beküldési határidő 2023. április 11-én LEJÁRT.
Megoldás. A logaritmus értelmezése miatt \(\displaystyle p-2>0\), tehát \(\displaystyle p>2\). Ugyanakkor \(\displaystyle p-2\neq 1\), ezért \(\displaystyle p\neq 3\). A logaritmus numerusza pozitív szám, azaz \(\displaystyle 4p-11>0\), így \(\displaystyle \displaystyle{p>\frac{11}{4}}\).
Ezért a \(\displaystyle p\) prímszámot a \(\displaystyle p\geq 5\) egyenlőtlenségnek megfelelő prímszámok között keressük.
A feltétel szerint csak \(\displaystyle m=0\), \(\displaystyle m=2\) vagy \(\displaystyle m=3\) lehetséges.
Ha \(\displaystyle m=0\), akkor a logaritmus definíciója szerint \(\displaystyle (p-2)^0=4p-11\), ebből a \(\displaystyle 4p-11=1\) egyenletet kapjuk, amelyből azt kapjuk, hogy \(\displaystyle p=3\). Ez a \(\displaystyle p\neq 3\) feltétel miatt a feladatnak nem megoldása.
Ha \(\displaystyle m=2\), akkor a logaritmus definícióját alkalmazva \(\displaystyle (p-2)^2=4p-11\). A műveletek elvégzésével és rendezéssel a
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle p^2-8p+15=0\) |
másodfokú egyenletet kapjuk.
Az egyenletnek két pozitív megoldása van: \(\displaystyle p_1=3\) és \(\displaystyle p_2=5\).
Ezek közül a \(\displaystyle p_1=3\) a feltétel miatt nem megoldás, a \(\displaystyle p=5\) pozitív prím azonban minden feltételnek eleget tesz, és behelyettesítéssel ellenőrizhető, hogy valóban megoldása a feladatnak.
Ha most \(\displaystyle m=3\), akkor \(\displaystyle (p-2)^3=4p-11\), akkor a műveletek elvégzésével a \(\displaystyle p^3-6p^2+12p-8=4p-11\), illetve rendezéssel a
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle p^3-6p^2+8p+3=0\) |
harmadfokú egyenlet adódik.
Megmutatjuk, hogy a (2) egyenletnek nincs a feltételeknek megfelelő megoldása.
Ehhez elegendő bizonyítani, hogy \(\displaystyle p^3+8p>6p^2\). Az egyenlőtlenség mindkét oldalának \(\displaystyle p\)-vel való osztása ekvivalens átalakítás, ahonnan előbb a \(\displaystyle p^2-6p+8>0\), innen pedig a
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle (p-3)^2>1\) |
egyenlőtlenséget kapjuk.
A (3) egyenlőtlenség minden, a \(\displaystyle p\geq 5\) feltételnek megfelelő \(\displaystyle p\) prímszámra fennáll, ezért az is igaz, hogy \(\displaystyle p^3+8p>6p^2\). Ebből pedig azonnal következik, hogy \(\displaystyle p^3-6p^2+8p>0\), vagyis a (3) egyenlet a feltételek mellett valóban nem teljesülhet.
A feladat egyetlen megoldása tehát a \(\displaystyle p=5\) prímszám, ekkor \(\displaystyle m=2\).
Statisztika:
37 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Balla Emese, Braun Zsófia, Fiser 234 Boldizsár, Hosszu Noel, Huszár Dóra , Keszthelyi Eszter, Mészáros Anna Veronika, Petró Péter, Richlik Márton, Schneider Dávid, Sipeki Márton, Szegedi Ágoston, Szittyai Anna, Tomesz László Gergő, Tóth Csilla Réka, Török Hanga, Varga Dániel 829, Végh Lilian. 4 pontot kapott: Fekete Patrik, Szabó Viktória Ildikó , Waldhauser Miklós. 3 pontot kapott: 3 versenyző. 2 pontot kapott: 3 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2023. márciusi matematika feladatai