Problem C. 1826. (October 2024)

C. 1826. Prove that if \(\displaystyle 0<x\leq 1\), then \(\displaystyle \sqrt{1-x}+\sqrt{4-x} < 1+\sqrt{4-3x}\).

Proposed by Mihály Hujter, Budapest

(5 pont)

Deadline expired on November 11, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A \(\displaystyle 0<x\leq 1\) feltétel miatt az egyenlőtlenség mindkét oldalának értéke pozitív, ezért ha négyzetre emeljük őket, akkor ekvivalens átalakítást végzünk. A négyzetre emelés, majd összevonás után az

\(\displaystyle 5-2x+2\sqrt{(1-x)(4-x)} < 5-3x+2\sqrt{4-3x} \)

egyenlőtlenséghez jutunk, amelyet rendezve ismét olyan egyenlőtlenséget kapunk, amelynek mindkét oldalán pozitív kifejezés áll:

\(\displaystyle x+2\sqrt{(1-x)(4-x)} < 2\sqrt{4-3x}.\)

Négyzetre emelünk, majd rendezzük az egyenlőtlenséget:

\(\displaystyle x^2+4(4-5x+x^2)+4x\sqrt{(1-x)(4-x)}<4(4-3x),\)

\(\displaystyle x^2+16-20x+4x^2+4x\sqrt{(1-x)(4-x)}<16-12x,\)

\(\displaystyle 4x\sqrt{(1-x)(4-x)}<8x-5x^2.\)

Mivel \(\displaystyle 0<x\), ezért \(\displaystyle 0<4x\)-szel elosztva az egyenlőtlenséget a két oldal közötti reláció változatlanul fennáll:

\(\displaystyle \sqrt{(1-x)(4-x)}<2-\frac54x.\)

Látjuk, hogy az egyenlőtlenség mindkét oldala pozitív, így ismét négyzetre emelünk:

\(\displaystyle (1-x)(4-x)=4-5x+x^2<4-5x+\frac{25}{16}x^2.\)

Végül a kapott egyenlőtlenséget rendezzük, így a

\(\displaystyle 0<\frac{9}{16}x^2\)

egyenlőtlenséghez jutunk, amely minden \(\displaystyle 0<x\leq 1\) valós számra igaz. A megoldás során kizárólag ekvivalens átalakításokat végeztünk. Ezzel a bizonyítás végére értünk.

Statistics:

71 students sent a solution.
5 points:	Albert Luca Liliána, Balogh Péter, Barna 201 Krisztina, Barna Márton, Budai Máté, Csiszár András, Duzmath Izabella, Földi Albert, Gáthi Donát, Hajós Boróka, Herczeg Boglárka, Hetyei Dániel, Horvath Benedek, Iván Máté Domonkos, Király Zsuzsanna , Kókai Ákos, Kovács Etelka Réka, Lipták Bence , Magura Anna Luca, Márfai Dóra, Menyhárt Eszter Panna, Miskolczi Máté Pál, Monoczki Máté, Pánovics Máté, Pikó András, Pink István, Zádori Kristóf, Zhang Suan.
4 points:	Bencze Mátyás, Farkas Máté, Kulcsár Anna Zita, Palásthy Bánk, Száva András, Vértesaljai Kincső.
3 points:	7 students.
2 points:	1 student.
1 point:	5 students.
0 point:	17 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2024