Problem C. 1860. (May 2025)

C. 1860. Let us consider a geometric progression consisting of positive integers. Prove that the contraharmonic mean of any three consecutive terms is an integer. How can the parity of this integer number be determined?

The contraharmonic mean \(\displaystyle C(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n})\) of positive real numbers \(\displaystyle a_{1}\), \(\displaystyle a_{2}\), \(\displaystyle \ldots\), \(\displaystyle a_{n}\) is defined as \(\displaystyle C(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n})=\frac{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots+a_{n}^{2}}{a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}}\).

Proposed by: Tamás Unyi, Szada

(5 pont)

Deadline expired on June 10, 2025.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen a mértani sorozat három egymást követő tagja: \(\displaystyle a,\ a \cdot q,\ a \cdot q^{2}\), ahol \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle q\) is pozitív egész számok.

I. eset: Ha \(\displaystyle q = 1\), akkor konstans sorozatról van szó, az egyforma tagok kontraharmonikus közepe is ugyanennyi, tehát egész szám.

II. eset: Ha \(\displaystyle q \neq 1\), akkor a tagok összege:

\(\displaystyle a + a \cdot q + a \cdot q^{2} = a \cdot \frac{q^{3} - 1}{q - 1}.\)

A tagok négyzetének összege:

\(\displaystyle a^{2} + a^{2} \cdot q^{2} + a^{2} \cdot q^{4} = a^{2} + a^{2} \cdot q^{2} + a^{2} \cdot \left( q^{2} \right)^{2} = a^{2} \cdot \frac{\left( q^{2} \right)^{3} - 1}{q^{2} - 1} = a^{2} \cdot \frac{\left( q^{3} \right)^{2} - 1}{q^{2} - 1}.\)

Így a tagok kontraharmonikus közepe:

\(\displaystyle C\left( a,a \cdot q,a \cdot q^{2} \right) = \left( a^{2} \cdot \frac{\left( q^{3} \right)^{2} - 1}{q^{2} - 1} \right) \div \left( a \cdot \frac{q^{3} - 1}{q - 1} \right) = \)

\(\displaystyle =a \cdot \frac{\left( q^{3} \right)^{2} - 1}{q^{3} - 1} \cdot \frac{q - 1}{q^{2} - 1} = a \cdot \frac{q^{3} + 1}{q + 1} = a \cdot \left( q^{2} - q + 1 \right).\)

A feltételek miatt ez is egész szám. A szorzat második tényezője:

\(\displaystyle q^{2} - q + 1=q(q-1)+1,\)

amely – \(\displaystyle q\) paritásától függetlenül – páratlan szám, ezért a kontraharmonikus középként kapott egész szám paritása kizárólag az \(\displaystyle a\)-val jelölt tag paritásától függ.

Statistics:

76 students sent a solution.
5 points:	Aaishipragya Kahaly, Albert Luca Liliána, Balogh Péter, Bara Boglárka , Békési Máté, Bense Tamás, Blaskovics Bálint, Bodó Rókus Dániel, Budai Máté, Farkas András, Fülöp Magdaléna, Halász Tamás, Hetyei Dániel, Hicsó Máté Kristóf, Iván Máté Domonkos, Kallós Klára, Kasza-Csótai Ádám, Kókai Ákos, Kudomrák Lili Anna , Kulcsár Anna Zita, Kun Petra, Lovas Márk, Majer Veronika, Máté Kristóf, Máté Zsófia, Mezei Marcell, Miszori Márton, Mizsei Márton, Molnár Lili, Molnár-Sáska Tamás, Móricz Zsombor, Németh Ábel, Pánovics Máté, Papp Emese Petra, Pázmándi Renáta , Péter Tamás, Pink István, Poczai Dorottya, Radošická Emma, Ráthonyi Vivien, Rózsa Zsombor, Szabó Máté, Szalóki Árpád, Szighardt Anna, Szmodics Emese Anna, Tóth Luca, Válek Péter, Viczián Adél, Winkler-Antal Dalma, Wolf Erik.
4 points:	6 students.
3 points:	4 students.
2 points:	3 students.
1 point:	1 student.
0 point:	1 student.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	4 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2025