 |
A C. 1879. feladat (2025. december) |
C. 1879. Adott az asztalon egy konvex \(\displaystyle n\)-szög, amelynek minden oldala 2 egység hosszúságú. A sokszög minden csúcsába egy egységsugarú korongot helyezünk úgy, hogy a szomszédos korongok érintsék egymást. Az így létrejött alakzaton kívülről végiggörgetünk egy ezektől különböző egységsugarú korongot úgy, hogy az a végén a kiindulási helyére kerüljön. Határozzuk meg \(\displaystyle n\) függvényében, hogy összesen mekkora szöggel fordul el ez a korong a végiggörgetés során.
német versenyfeladat
(5 pont)
A beküldési határidő 2026. január 12-én LEJÁRT.
Megoldás. Első lépésként nézzük meg egy jól ismert feladat megoldását: egy egységsugarú korong körül görgessünk körbe egy másik egységsugarú korongot, és vizsgáljuk meg, hogy hányszor fordul körbe, amíg visszaér a helyére!
Ha a fenti ábrán a felső korongot az óramutató járásával megegyező irányban átgörgetjük az alsó korong alá, akkor a fenti fekete pont a lenti fekete ponttal fog egybeesni, hiszen a két korong éppen egy félkört (piros) fog gördülni egymáson. Azt látjuk, hogy így fél kör alatt fog pontosan egyszer körbefordulni a mozgó korong, tehát a teljes út alatt pontosan két fordulatot tesz meg.
Ennek a feladatnak a megoldásából annyit használunk fel a továbbiakban, hogy a mozgatott korong pont kétszer akkora szöget fordul el a saját középpontja körül, mint a fix korong körül.
Térjünk vissza a vizsgált feladatra! Most egy konvex \(\displaystyle n\)-szög csúcsaiban lévő fix korongok körül forog egy mozgó korong. Nézzük meg, hogy mennyit fordul körbe két olyan helyzet között, amikor pontosan két fix korongot érint (lásd második ábra)!
Mint az az ábrán is látszik, ha a konvex \(\displaystyle n\)-szög egy csúcsánál lévő belső szög \(\displaystyle \alpha\), akkor az abban a csúcsban lévő fix korong körül a mozgó korongnak \(\displaystyle \beta=360^\circ-2\cdot60^\circ-\alpha=240^\circ-\alpha\) szöget kell fordulnia. Az előzőekben tisztázott okokból a korong ezalatt kétszerennyit fordul körbe, tehát \(\displaystyle 480^\circ-2\alpha\) szöget. Ezeket az értékeket kell összeadnunk mind az \(\displaystyle n\) szögre (hiszen mindegyik körül pont egyszer kell elfordulnia a mozgó korongnak): \(\displaystyle n \cdot 480^\circ-2(n-2)\cdot 180^\circ=n\cdot120^\circ +720^\circ,\) hiszen a sokszög belső szögeinek összege \(\displaystyle (n-2)\cdot 180^\circ.\)
Tehát a végiggörgetés során összesen \(\displaystyle n\cdot120^\circ +720^\circ\) szöggel fordul el a korong.
Statisztika:
A C. 1879. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2025. decemberi matematika feladatai