 |
A C. 1883. feladat (2026. január) |
C. 1883. Mely \(\displaystyle n\) természetes számokra igaz, hogy \(\displaystyle n^3+25n\ge10n^2+16\)?
Javasolta: Czett Mátyás (Zalaegerszeg)
(5 pont)
A beküldési határidő 2026. február 10-én LEJÁRT.
1. Megoldás Az egyenlőtlenséget ekvivalens átalakítással az \(\displaystyle n^3-10n^2\geq 16-25n\) alakba írhatjuk, innen pedig
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle n^2\cdot\big(n-10\big)\geq 16-25n .\) |
Eszerint, ha \(\displaystyle n\geq 10\), akkor (1) bal oldala nemnegatív, jobb oldala negatív, tehát az egyenlőtlenség minden \(\displaystyle n\geq 10\) természetes számra teljesül.
Meg kell tehát vizsgálni az \(\displaystyle \Big[0;10\Big[\) intervallumba tartozó természetes számokat. Behelyettesítéssel láthatjuk, hogy \(\displaystyle n=0\) nem felel meg (1)-nek, ezért nem megoldása az eredeti egyenlőtlenségnek sem.
Az \(\displaystyle n=1\) és \(\displaystyle n=2\) azonban megoldás, az előbbi mellett (1) mindkét oldalán \(\displaystyle -9\) áll, az utóbbi esetben a bal oldal értéke \(\displaystyle -32\), a jobb oldal értéke pedig \(\displaystyle -34\).
Hasonlóan egyszerűen kapjuk, hogy az \(\displaystyle n=3, 4, 5, 6\) számokra nem teljesül az (1) egyenlőtlenség, ezért az \(\displaystyle n=0\) mellett ezek sem megoldásai a feladatnak. Ugyancsak behelyettesítéssel adódik, hogy \(\displaystyle n=7, 8, 9\) megfelel (1)-nek.
Az eredeti egyenlőtlenség tehát az \(\displaystyle n=0, 3, 4, 5, 6\) számok kivételével minden természetes számra igaz.
2. Megoldás Ekvivalens lépés, ha az egyenlőtlenség mindkét oldalából \(\displaystyle 10n^2\)-et kivonunk, ezzel
\(\displaystyle n^3-10n^2+25n\geq 16,\)
a kapott egyenlőtlenség bal oldalán \(\displaystyle n\) kiemelésével, majd teljes négyzetté alakításal adódik, hogy
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle n\cdot \big(n-5\big)^2\geq 16.\) |
A (2) összefüggés bal oldalán olyan kifejezést kaptunk, amelynek minimuma \(\displaystyle 0\), hiszen \(\displaystyle n\) természetes szám, ezt a minimumot \(\displaystyle n=0\) és \(\displaystyle n=5\) esetén éri el. Ez azt is jelenti, hogy az eredeti egyenlőtlenségnek \(\displaystyle n=0\) és \(\displaystyle n=5\) nem megoldása.
Ugyanakkor minden olyan \(\displaystyle n\) természetes szám megoldás lesz, amelyre
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle |n-5|\geq 4.\) |
Ha \(\displaystyle n\geq5\), akkor (3)-ból az következik, hogy \(\displaystyle n-5\geq 4\), azaz \(\displaystyle n\geq 9\). A feladatnak tehát minden olyan \(\displaystyle n\) természetes szám megoldása, amelyre \(\displaystyle n\geq 9\).
Ha pedig \(\displaystyle n<5\), akkor (3)-ból adódik, hogy \(\displaystyle -n+5\geq 4\), vagyis \(\displaystyle n\leq 1\). Az ennek megfelelő természetes számok \(\displaystyle n=0\) és \(\displaystyle n=1\).
Az előzőekben már megállapítottuk, hogy \(\displaystyle n=0\) nem megoldás. Az \(\displaystyle n=1\) azonban kielégíti a (2) és (3) egyenlőtlenségeket, ezért megoldása a feladatnak, \(\displaystyle n=1\) mellett (2) mindkét oldalán \(\displaystyle 16\) áll.
Most már csak az \(\displaystyle [2;8]\) intervallumba eső természetes számokat kell megvizsgálnunk. Behelyettesítéssel ellenőrizhető, hogy \(\displaystyle n=2\), \(\displaystyle n=7\) és \(\displaystyle n=8\) megoldások, míg \(\displaystyle n=4, 5, 6\) nem megoldásai a feladatnak.
Összegezve: az eredeti egyenlőtlenség az \(\displaystyle n=0, 3, 4, 5, 6\) számok kivételével minden \(\displaystyle n\) természetes számra igaz.
Statisztika:
A C. 1883. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2026. januári matematika feladatai