A C. 1884. feladat (2026. január)

C. 1884. Egy osztály \(\displaystyle 30\) tanulója dolgozatot írt matematikából. A tanár kijavította a dolgozatokat, és a diákoknak egy táblázatban küldte el az eredményeket, ahol egymás alatt szerepeltek a kapott érdemjegyek: \(\displaystyle 15\) darab négyes és \(\displaystyle 15\) darab ötös. Mutassuk meg, hogy biztosan van \(\displaystyle 14\) olyan egymást követő sor, amelyekben szereplő érdemjegyek összege \(\displaystyle 63\).

Felvidéki Magyar Matematikaverseny feladat alapján

(5 pont)

A beküldési határidő 2026. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Tegyük fel először, hogy az első 14 jegy összege kevesebb, mint 63. Ez pontosan akkor lehetséges, ha az első 14 jegy között kevesebb, mint 7 darab ötös van. Tehát az utolsó 16 jegy között biztosan van legalább 9 darab ötös, és így az utolsó 14 jegy között biztosan van legalább 7 darab ötös, ezért az utolsó 14 jegy összege legalább 63. Ha pont 63, teljesül a feladat állítása, ellenkező esetben az utolsó 14 jegy összege nagyobb, mint 63.

Vegyük észre, hogy ha egy sorral feljebbi vagy lejjebbi 14 jegyet adunk össze, az összeg vagy eggyel változik, vagy nem változik, hiszen 13 vizsgált jegy ugyanaz marad, és egy darab négyes vagy ötös változhat csak meg az összegben. Tehát az első 14 jegytől az utolsó 14 jegyig tekintve az egymást követő 14 sorokat az összeg mindig csak egyesével változhat. Ám ha egy 63-nál kisebb számtól egyesével lépdelve eljutunk egy 63-nál nagyobb számig, akkor biztos, hogy közben szerepelt maga a 63 szám is, tehát biztosan van 14 olyan egymást követő sor, melyekben a jegyek összege 63.

Amennyiben az első 14 jegy összege nagyobb, mint 63, abban 7-nél több ötösnek kell szerepelnie, tehát az utolsó 16 sorban, és így az utolsó 14 sorban is legfeljebb 7 ötös szerepel, így az utolsó 14 sor összege legfeljebb 63. Az előző gondolatmenet szerint tehát ebben az esetben is lesz 14 olyan egymást követő sor, melyben az összeg pont 63.

Már csak azt az esetet kell megvizsgálni, amikor az első 14 sor összege pont 63, ekkor nyilván teljesül a feladat állítása.

Statisztika:

A C. 1884. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2026. januári matematika feladatai