A C. 1885. feladat (2026. január)

C. 1885. A \(\displaystyle PQR\) szabályos háromszögben megrajzoltuk az \(\displaystyle ABCDEF\) szabályos hatszöget úgy, hogy a \(\displaystyle B\), \(\displaystyle D\), \(\displaystyle F\) pontok rendre a \(\displaystyle PQ\), \(\displaystyle QR\), \(\displaystyle RP\) oldalak felezőpontjai. Határozzuk meg a \(\displaystyle PQR\) háromszög területét, ha az \(\displaystyle ABQRF\) ötszög területe egységnyi.

holland versenyfeladat

(5 pont)

A beküldési határidő 2026. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelölje az \(\displaystyle ABCDEF\) szabályos hatszög középpontját \(\displaystyle K\). Megmutatjuk, hogy a \(\displaystyle K\) pont a \(\displaystyle PQR\) szabályos háromszög súlypontja, az \(\displaystyle A\) pont pedig a \(\displaystyle PK\) szakasz felezőpontja. Tekintsük az 1. ábrát.

A \(\displaystyle KAB\), \(\displaystyle KBC\), \(\displaystyle KCD\), \(\displaystyle KDE\), \(\displaystyle KEF\) és \(\displaystyle KFA\) egybevágó szabályos háromszögek, ezért az \(\displaystyle ABKF\) négyszög rombusz, amelynek átlói merőlegesek egymásra. Ugyanakkor a \(\displaystyle BF\) szakasz a \(\displaystyle PQR\) szabályos háromszög középvonala, amely párhuzamos a \(\displaystyle QR\) szakasszal. A \(\displaystyle K\) pontot is tartalmazó \(\displaystyle AD\) szakasz tehát merőleges a \(\displaystyle BF\) és a vele párhuzamos \(\displaystyle QR\) szakaszra. Eszerint a \(\displaystyle D\) felezőpontban a \(\displaystyle QR\) szakaszra merőleges \(\displaystyle AD\) szakasz egyenese csakis a \(\displaystyle PQR\) szabályos háromszög \(\displaystyle PD\) súlyvonalának egyenese lehet, vagyis az \(\displaystyle A\) pont rajta van a \(\displaystyle PD\) súlyvonalon. Hasonlóképpen láthatjuk be, hogy a \(\displaystyle C\), illetve \(\displaystyle E\) pont illeszkedik a \(\displaystyle QF\), illetve \(\displaystyle RB\) súlyvonalra. Vizsgáljuk most a 2. ábrát.

Mivel \(\displaystyle QF\perp RP\), valamint \(\displaystyle RB\perp PQ\), továbbá \(\displaystyle KFA\) és \(\displaystyle KAB\) szabályos háromszögek, ezért \(\displaystyle PBA\sphericalangle=AFP\sphericalangle=30^{\circ}\), a \(\displaystyle PQR\) háromszög \(\displaystyle PD\) súlyvonala pedig egyben szögfelező is, így \(\displaystyle FPA\sphericalangle=APB\sphericalangle=30^{\circ}\).

Az \(\displaystyle FPA\) és \(\displaystyle PBA\) tehát egyenlő szárú háromszögek, amelyekre \(\displaystyle AP=AF=AB\) és ezen szakaszok hossza az \(\displaystyle AK\) szakasz hosszával is egyenlő. Ezzel beláttuk, hogy az \(\displaystyle A\) a \(\displaystyle PK\) szakasz felezőpontja, másrészt, hogy \(\displaystyle K\) valóban súlypontja a \(\displaystyle PQR\) szabályos háromszögnek, hiszen \(\displaystyle K\) a \(\displaystyle PD\) súlyvonalnak a \(\displaystyle P\) csúcstól távolabbi harmadolópontja. Hasonlóan egyszerűen igazolhatjuk, hogy a \(\displaystyle C\), illetve \(\displaystyle E\) a \(\displaystyle QK\), illetve \(\displaystyle RK\) szakasz felezőpontja.

Eszerint az \(\displaystyle AB\), \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle CD\), \(\displaystyle DE\), \(\displaystyle EF\), \(\displaystyle FA\) szakaszok rendre felezik a \(\displaystyle KPB\), \(\displaystyle KBQ\), \(\displaystyle KQD\), \(\displaystyle KDR\), \(\displaystyle KRF\), \(\displaystyle KFP\) derékszögű háromszögek területét.

Az ábrán a \(\displaystyle KAB\) háromszög területét \(\displaystyle t\)-vel jelöltük, ezért eddigi megállapításainkat és a feltételt is figyelembe véve az \(\displaystyle ABQRF\) ötszög területére \(\displaystyle T_{ABQRF}=10t=1\), tehát

Előző eredményeink alapján a \(\displaystyle PQR\) szabályos háromszög területe \(\displaystyle 12t\)-vel egyenlő, így (1) szerint

\(\displaystyle \displaystyle{T_{PQR}=\frac{12}{10}=\frac{6}{5}}\)

területegység. Ezzel a megoldást befejeztük.

Statisztika:

A C. 1885. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2026. januári matematika feladatai