A C. 1886. feladat (2026. január)

C. 1886. Az $\displaystyle ABCDEF$ hatszög minden belső szöge ugyanakkora. Bizonyítsuk be, hogy az $\displaystyle ACE$ és $\displaystyle BDF$ háromszögek területei egyenlők.

Javasolta: Ujházy Márton (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2026. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az $\displaystyle ABCDEF$ hatszögről tudjuk, hogy minden szöge egyenlő, emiatt minden belső szög nagysága $\displaystyle \frac{720^{\circ}}{6}=120^{\circ}$. Egészítsük ki a hatszöget minden második oldalának meghosszabbításával a $\displaystyle KLM$ háromszöggé az ábrán látható módon. A kis kiegészítő háromszögek két-két belső szöge egyben a hatszögnek külső szöge is, emiatt a kiegészítő háromszögeknek van két-két 60°-os szöge, így azok szabályosak. Ebből az is következik, hogy a $\displaystyle KLM\triangle$ szabályos, hiszen mindhárom csúcsában 60°-os belső szög található.

Jelölje a $\displaystyle KLM\triangle$ egy oldalát $\displaystyle a$, a hatszög egy-egy oldala pedig legyen $\displaystyle BC=x, \; DE=y, \;FA=z.$

Lássunk neki a kérdéses területek kiszámításának! Az $\displaystyle ACE \ \text{és} \ BDF$ háromszögek területeit egyaránt megkaphatjuk a $\displaystyle KLM\triangle$ területéből, a maradék területek levonásával:

$$\begin{align*} T_{ACE}=T_{KLM}-T_{AKC}-T_{CLE}-T_{EMA},\\ T_{BDF}=T_{KLM}-T_{BKD}-T_{DLF}-T_{FMB}. \end{align*}$$

A levonandó háromszögek területeinek kiszámítását trigonometrikus területképlettel végezzük. Ehhez szükség van a $\displaystyle KLM\triangle$ oldalain keletkező szakaszok kifejezésére a bevezetett jelölésekkel: például $\displaystyle MA=AF=z$, $\displaystyle AK=KM-MA=a-z$, kihasználva az $\displaystyle MAF\triangle$ szabályosságát. A $\displaystyle KLM\triangle$ oldalain keletkező további szakaszokra hasonlóan egyszerű formulák adódnak.

Folytatva az $\displaystyle ACE\triangle$ területének kiszámítását:

$\displaystyle T_{ACE}=T_{KLM}-T_{AKC}-T_{CLE}-T_{EMA}=\frac{a\cdot a\cdot \sin(60^\circ)}{2}-\frac{AK\cdot KC\cdot \sin(60^\circ)}{2}- \frac{CL\cdot LE\cdot \sin(60^\circ)}{2}- \frac{EM\cdot MA\cdot \sin(60^\circ)}{2}. $

Behelyettesítve a szakaszhosszokat:

$\displaystyle T_{ACE}=\frac{a\cdot a\cdot\sqrt{3}}{4}- \frac{(a-z)\cdot x\cdot\sqrt{3}}{4}- \frac{(a-x)\cdot y\cdot\sqrt{3}}{4}- \frac{(a-y)\cdot z\cdot\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot (a^2-ax-ay-az+xy+yz+zx). $

A $\displaystyle BDF$ háromszög területét hasonlóan számítva:

$\displaystyle T_{BDF}=T_{KLM}-T_{BKD}-T_{DLF}-T_{FMB}=$

$\displaystyle =\frac{a\cdot a\cdot \sin(60^\circ)}{2}-\frac{x \cdot (a-y)\cdot \sin(60^\circ)}{2}- \frac{y\cdot (a-z)\cdot \sin(60^\circ)}{2}- \frac{z\cdot (a-x)\cdot \sin(60^\circ)}{2}= \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot (a^2-ax-ay-az+xy+yz+zx). $

A kérdéses háromszögek területei tehát valóban egyenlőek.

Statisztika:

A C. 1886. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2026. januári matematika feladatai

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?