 |
A C. 1887. feladat (2026. január) |
C. 1887. Hány olyan \(\displaystyle \overline{abcabc}_9\) alakú szám van a kilences számrendszerben, amely 40 pozitív osztóval rendelkezik? (Az egyező betűk egyező számjegyeket jelölnek.)
Javasolta: Ujházy Márton (Budapest)
(5 pont)
A beküldési határidő 2026. február 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Vezessük be az \(\displaystyle N = \overline{abcabc}_9\) és \(\displaystyle n = \overline{abc}_9\) jelöléseket, ekkor
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle \displaystyle{N=\overline{abc}_9 \cdot (9^3+1) = 730n=2\cdot 5 \cdot 73 \cdot n.}\) |
Írjuk fel \(\displaystyle n\) tízes számrendszerbeli alakját: \(\displaystyle n=9^2a+9b+c\), ahol \(\displaystyle 0 \leq a, b, c \leq 8\), sőt \(\displaystyle a\neq 0\), mivel egy szám \(\displaystyle 9\)-es számrendszerben sem kezdődik \(\displaystyle 0\)-val; továbbá nyilván \(\displaystyle 81 \leq n \leq 728\). Majd írjuk fel \(\displaystyle n\)-t olyan alakban, hogy a 730-mal közös prímtényezőket kiemeljük belőle: \(\displaystyle n=2^r5^s73^t \cdot m\), ahol \(\displaystyle 0 \leq r, s, t\), valamint \(\displaystyle (730,m)=1\) (azaz a 730 és \(\displaystyle m\) legnagyobb közös osztója 1).
(1)-be visszaírva a következő adódik \(\displaystyle N\)-re:
\(\displaystyle \displaystyle{N=2^{r+1}5^{s+1}73^{t+1} \cdot m.}\)
A feladat feltétele szerint az osztók száma 40, azaz
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle \displaystyle{40=d(N)=(r+2)(s+2)(t+2) \cdot d(m)}.\) |
Vizsgáljuk meg, milyen értékeket vehet fel \(\displaystyle d(m)\). \(\displaystyle n \leq 728\) miatt \(\displaystyle r \leq 9, s \leq 4, t \leq 1\), illetve \(\displaystyle (r+2)(s+2)(t+2)\geq 8\) miatt \(\displaystyle 1 \leq d(m) \leq 5.\) Vegyük észre, hogy \(\displaystyle t=1\) esetén (2) alapján adódna, hogy \(\displaystyle 3 \vert 40\), ami ellentmondás. Azaz \(\displaystyle t=0\). És hasonló megfontolásból következik, hogy \(\displaystyle d(m) \in \{1, 2, 4, 5\}.\)
A \(\displaystyle d(m)\) lehetséges értékei szerinti esetszétválasztással vizsgáljuk meg a \(\displaystyle 20=(r+2)(s+2) \cdot d(m)\) összefüggést, hogy megállapíthassuk, melyik esetben hány szóba jövő megoldás van.
1. eset: \(\displaystyle d(m) = 1\)
Ebben az esetben \(\displaystyle m=1\), azaz \(\displaystyle (r+2)(s+2)=20.\) Ebből a következő 3 megoldás adódik:
| r | s |
| 8 | 0 |
| 2 | 3 |
| 3 | 2 |
2. eset: \(\displaystyle d(m) = 2\)
Ebben az esetben \(\displaystyle (r+2)(s+2)=10\). Ebből a következő 1, majd 19 megoldás adódik:
Ha \(\displaystyle r=0, s=3\), úgy \(\displaystyle m \leq 5\), és mivel \(\displaystyle 2\)-től és \(\displaystyle 5\)-től különböző prím, így \(\displaystyle m=3\).
Ha \(\displaystyle r=3, s=0\), úgy \(\displaystyle 81 \leq 2^3m\leq 728\) miatt \(\displaystyle 11 \leq m\leq 91\). Figyelembe véve, hogy \(\displaystyle m \neq 73\), 19 megfelelő prím adódik \(\displaystyle m\)-nek.
3. eset: \(\displaystyle d(m) = 4\)
Ebben az esetben \(\displaystyle (r+2)(s+2)=5\). Emiatt két, \(\displaystyle 2\)-nél nagyobb szám szorzataként kellene felírni az \(\displaystyle 5\)-öt, ami nem lehetséges.
4. eset: \(\displaystyle d(m) = 5\)
Ebben az esetben \(\displaystyle (r+2)(s+2)=4\), azaz \(\displaystyle r=s=0\), vagyis \(\displaystyle n=m\). Ekkor az \(\displaystyle n\) szám osztóinak is 5 a száma, következésképpen egy prímszám negyedik hatványa. Figyelembe véve a feltételeket ekkor \(\displaystyle n=81\). Ebben az esetben csak ez az egy megoldás van.
Összesítve: 24 ilyen szám van.
Statisztika:
A C. 1887. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2026. januári matematika feladatai