A C. 1889. feladat (2026. február)

C. 1889. Egy számegyenesen be van jelölve az \(\displaystyle 1\) és a \(\displaystyle \sqrt{5}\), semmi más. Adjuk meg szerkesztéssel a számegyenesen a \(\displaystyle 0\) helyét. (Az elemi szerkesztési lépéseket, mint például szög felezése, tengelyes tükrözés, nem kell részletezni.)

Javasolta: Veszprémi Ferenc (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2026. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelölje a számegyenesen az \(\displaystyle 1\) helyét az \(\displaystyle A\), a \(\displaystyle \sqrt{5}\) helyét a \(\displaystyle B\) pont. Eszerint az \(\displaystyle AB\) szakasz hossza \(\displaystyle AB=\sqrt{5}-1\) hosszúságegység. A \(\displaystyle 0\) helyét jelölő pontot akkor tudjuk megszerkeszteni, ha \(\displaystyle AB=\sqrt{5}-1\) segítségével elő tudjuk állítani az egységnyi hosszúságú szakaszt.

Ehhez először állítsunk merőlegest az \(\displaystyle A\) pontban az \(\displaystyle AB\) egyenesre, és ezen vegyük fel azt a \(\displaystyle C\) pontot, amelyre \(\displaystyle AC=2AB=2\cdot\big(\sqrt{5}-1\big) \), ez a \(\displaystyle C\) pont euklideszi módon megszerkeszthető. Tekintsük az 1. ábrát.

1. ábra

A Pitagorasz-tétel alkalmazásával kapjuk, hogy \(\displaystyle BC^2=\big(\sqrt{5}-1\big)^2+4\cdot\big(\sqrt{5}-1\big)^2=5\cdot (\sqrt 5-1)^2\), ebből a gyökvonás elvégzése után azt kapjuk, hogy

A \(\displaystyle BC\) szakaszt mérjük föl a \(\displaystyle B\) pontból az \(\displaystyle AB\) félegyenesre a \(\displaystyle B\) ponton túl, ezzel megszerkesztjük a \(\displaystyle D\) pontot, illetve az \(\displaystyle AD\) szakaszt. Nyilvánvaló, hogy \(\displaystyle AD=AB+BD\), és mivel \(\displaystyle BD=BC\), ezért \(\displaystyle AB=\sqrt{5}-1\) és (1) alapján az \(\displaystyle AD\) szakasz hossza

Szakaszok felezőpontja a felezőmerőleges szerkesztésével meghatározható. Ennek megfelelően a következő ábrán megrajzoljuk az \(\displaystyle AD\) szakasz \(\displaystyle E\), illetve az \(\displaystyle ED\) szakasz \(\displaystyle F\) felezőpontját.

2. ábra

Mivel (2) szerint \(\displaystyle AD=4\), ezért \(\displaystyle AE=ED=2\) és \(\displaystyle EF=FD=1\). Ezzel előállítottuk az egységnyi hosszúságú szakaszt, ennek segítségével pedig megszerkesztettük a \(\displaystyle BA\) félegyenesen az \(\displaystyle A\) ponton túl azt az \(\displaystyle O\) pontot, amelyre \(\displaystyle AO=1\). Az \(\displaystyle O\) éppen a \(\displaystyle 0\) helyét jelöli a számegyenesen, hiszen az \(\displaystyle A\) éppen az \(\displaystyle 1\) számot jelöli. Ezzel a megoldást befejeztük.

Megjegyzések. 1) A feltételek alapján az \(\displaystyle AB\) számegyenesen bármely racionális szám, és végtelen sok irracionális szám helye is megszerkeszthető, az irracionális számok közül nem szerkeszthető például a \(\displaystyle \pi\) szám helye.

2) Az \(\displaystyle 0\) helyének szerkesztése megoldható más úton is. Ehhez figyelembe vehetjük, hogy egy szakaszt az aranymetszés arányának megfelelően osztunk két részre, ha a rövidebb és a hosszabb rész aránya pontosan \(\displaystyle \displaystyle{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}\), ez pedig éppen az \(\displaystyle AB\) szakasz hosszának fele. Ez a szerkesztési mód azonban lényegesen hosszabb a megoldásban leírt szerkesztésnél.

3) Egy másik szerkesztés vázlata a következő: vegyünk fel egy tetszőleges téglalapot, mely oldalainak aránya \(\displaystyle 1:2\). Ekkor, ha a téglalap rövidebb oldalának hossza \(\displaystyle a\), akkor az átlója \(\displaystyle \sqrt5\cdot a\) hosszú. Ha egy, a megoldásbeli \(\displaystyle B\) pontból induló segédfélegyenesre felmérünk megfelelő módon egy \(\displaystyle \sqrt{5} \cdot a\) és egy \(\displaystyle a\) hosszú szakaszt, a párhuzamos szelők tételét használva a \(\displaystyle 0\) helye könnyen kijelölhető.

Statisztika:

A C. 1889. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2026. februári matematika feladatai