A C. 1891. feladat (2026. február)

C. 1891. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög beírt körének középpontja \(\displaystyle I\), az \(\displaystyle AI\) egyenes a háromszög körülírt körét másodszor a \(\displaystyle D\) pontban metszi. A \(\displaystyle CDI\) háromszög körülírt körének és a \(\displaystyle BC\) szakasznak a második metszéspontja \(\displaystyle E\). Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle BE=IE\).

Javasolta: David Nguyen (Sydney, Ausztrália)

(5 pont)

A beküldési határidő 2026. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A bizonyítás során a kerületi szögek tételét fogjuk alkalmazni mindkét körre.

Elsőként tekintsük az \(\displaystyle ABC\) háromszög körülírt körének a \(\displaystyle B\)-t nem tartalmazó \(\displaystyle AC\) ívét. Az \(\displaystyle ABC\sphericalangle\) és a \(\displaystyle ADC\sphericalangle\) egyaránt ehhez az \(\displaystyle AC\) ívhez tartozó kerületi szögek, így nagyságuk egyezik. Ez alapján a szokásos jelölések mellett \(\displaystyle ADC\sphericalangle=ABC\sphericalangle=\beta\).

Az \(\displaystyle ADC\sphericalangle=IDC\sphericalangle\) a \(\displaystyle CDI\) körben is kerületi szög, amely a \(\displaystyle D\) pontot nem tartalmazó \(\displaystyle CI\) ívhez tartozik, ugyanúgy, ahogy a \(\displaystyle IEC\sphericalangle\) is, amelynek nagysága emiatt szintén \(\displaystyle \beta\).

Tekintsük most a \(\displaystyle BEI\) háromszöget. A háromszög \(\displaystyle E\) csúcsánál fekvő belső szöge az előzőek szerint \(\displaystyle 180^\circ-\beta\), az \(\displaystyle IBE\sphericalangle\) nagysága a \(\displaystyle BI\) szögfelező volta miatt pedig \(\displaystyle \frac{\beta}{2}\). Utóbbi kettőből kapjuk, hogy

\(\displaystyle \displaystyle{EIB\sphericalangle=180^\circ -(180^\circ-\beta)-\frac{\beta}{2}=\frac{\beta}{2}}.\)

Eszerint a \(\displaystyle EIB\) háromszög egyenlő szárú, azaz \(\displaystyle BE=IE\).

Meg kell még gondolnunk, hogy az \(\displaystyle E\) pont mindenképpen létrejön-e, azaz a \(\displaystyle CDI\) háromszög körülírt köre metszheti-e a \(\displaystyle BC\) egyenest a \(\displaystyle BC\) oldalon kívül.

Ez nem fordulhat elő, az előzőekben ugyanis láttuk, hogy \(\displaystyle IEC\sphericalangle=\beta\), tehát az \(\displaystyle E\) pontot úgy is megkaphatjuk, hogy a beírt kör középpontján át párhuzamost húzunk az \(\displaystyle AB\) oldallal, majd vesszük a párhuzamos egyenes metszéspontját az \(\displaystyle AB\) szakasszal. Az így kapott \(\displaystyle E\) pont biztosan belső pontja a \(\displaystyle BC\) szakasznak.

Statisztika:

24 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Aaishipragya Kahaly, Albert Luca Liliána, Bao Nguyen Gia, Budai Máté, Farkas Noémi , Hetyei Dániel, Hirmann Dorottya, Kun Petra, Márfai Lili, Máté Kristóf, Mateas Isabelle, Németh Ábel, Papp Emese Petra, Válek Péter, Viczián Adél.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2026. februári matematika feladatai