A C. 1893. feladat (2026. március)

C. 1893. Hány olyan téglatest van, amelynek minden élhossza centiméterben mérve egész szám, és a térfogata \(\displaystyle 2560~\mathrm{cm}^3\)? (Az egybevágó téglatesteket nem tekintjük különbözőnek.)

Javasolta: Ujházy Márton (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2026. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen az élek hossza \(\displaystyle a;~ b\) és \(\displaystyle c\) cm, ekkor \(\displaystyle V=abc=2560\) cm\(\displaystyle ^3\). A \(\displaystyle 2560\) prímtényezős felbontása:

\(\displaystyle 2560=2^9 \cdot 5^1,\)

ennek alapján szisztematikus sorrendben végignézzük a lehetséges eseteket. Ezt megtehetjük többféleképpen, az egyik legrövidebb módszert ismertetjük az alábbiakban.

Ha \(\displaystyle a=5\) cm, akkor \(\displaystyle b\cdot c=2^9\), azaz \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) a \(\displaystyle 2^9\) szám osztópárja. Mivel a \(\displaystyle 2^9\)-nek \(\displaystyle 9+1=10\) pozitív osztója van, így azok \(\displaystyle 5\) osztópárt alkotnak. Ezért ebben az esetben \(\displaystyle 5\) különböző téglatestet számoltunk össze. Ezután a \(\displaystyle 2\)-es tényezőket egyenként átcsoportosítjuk az \(\displaystyle a\)-hoz, és megszámoljuk, hogy \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) értéke hányféle lehet az egyes esetekben. Ha \(\displaystyle a=5\cdot 2^1\), akkor \(\displaystyle b\cdot c=2^8\), amelynek \(\displaystyle 9\) osztója van (hiszen négyzetszám). Ha a \(\displaystyle 2^4\)-t önmagával párosítjuk, akkor itt is \(\displaystyle 5\) osztópárt találtunk. Tovább folytatva, ha \(\displaystyle a=5\cdot 2^2\), akkor \(\displaystyle b\cdot c=2^7,\) amelynek \(\displaystyle 8\) osztója, így \(\displaystyle 4\) osztópárja van. Teljesen hasonló gondolatmenet alapján a lehetséges esetek száma: \(\displaystyle 2\cdot (5+4+3+2+1)=2\cdot15=30.\) Tehát \(\displaystyle 30\) olyan (lényegében különböző) téglatest van, amely a feladat összes feltételének megfelel.

Statisztika:

A C. 1893. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2026. márciusi matematika feladatai