A C. 1894. feladat (2026. március)

C. 1894. Mutassuk meg, hogy ha \(\displaystyle n\) egész, akkor az

\(\displaystyle \frac{n^5}{5}+\frac{n^3}{3}+\frac{7n}{15} \)

kifejezés értéke is egész.

skót versenyfeladat

(5 pont)

A beküldési határidő 2026. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A közös nevezőre hozás után alakítsuk át a \(\displaystyle 3n^5+5n^3+7n\) kifejezést!

\(\displaystyle 3n^5+5n^3+7n=3(n^5-n)+5(n^3-n)+15n=3n(n^2-1)(n^2-4+5)+5n(n-1)(n+1)+15n=\)

\(\displaystyle =3n(n^2-1)(n^2-4)+15n(n^2-1)+5n(n-1)(n+1)+15n= 3n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5n(n-1)(n+1)+15n(n^2-1)+15n=\)

\(\displaystyle =3n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5n(n-1)(n+1)+15n^3.\)

Tehát

\(\displaystyle \frac{1}{15}(3n^5+5n^3+7n)=\dfrac{(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)}{5}+ \dfrac{(n-1)n(n+1)}{3}+n^3.\)

Világos, hogy öt egymást követő szám szorzata osztható öttel, illetve három egymást követő szám szorzata osztható hárommal. Így a két hányados egész, tehát a vizsgált kifejezés is egész.

Statisztika:

A C. 1894. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2026. márciusi matematika feladatai