 |
A C. 1895. feladat (2026. március) |
C. 1895. Egy kocka alakú kisbolygó teljes felszíne füves síkság, élei 1 km-esek. Az egyik csúcsban ki van kötve egy kecske egy \(\displaystyle \sqrt{2}\) km hosszú kötéllel. A bolygó felszínének hányadát tudja lelegelni a kecske?
Javasolta: Ujházy Márton (Budapest)
(5 pont)
A beküldési határidő 2026. április 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Jelölje a kecske kiindulási helyét A. Ekkor azt a három lapot, amelynek \(\displaystyle A\) csúcsa, a kecske maradéktalanul le tudja legelni. Több meggondolni valót jelent a maradék három lap kérdése.
Az említett három lap szerepe egyforma a kocka forgásszimmetriája miatt, foglalkozzunk a továbbiakban az \(\displaystyle EFGH\) lappal. E lap pontjai az \(\displaystyle A\) csúcsból legrövidebb módon vagy az \(\displaystyle ABFE\) lapon, vagy az \(\displaystyle AFHD\) lapon keresztül érhetőek el. Hogy a távolságok jól szemléltethetőek legyenek, tekintsük a kockahálónak azt a részletét, amely az \(\displaystyle AE\) él mentén való vágással kapható.
A kockaháló alkalmazásával a kocka felületén az \(\displaystyle A\) csúcstól legfeljebb \(\displaystyle \sqrt 2\) távolságra lévő pontok problémáját síkbeli kérdésre vezetjük vissza. Elmondható, hogy az \(\displaystyle EFGH\) lap azon pontjai, melyek az \(\displaystyle A\) csúcsból az \(\displaystyle AEHG\) lapon keresztül legfeljebb \(\displaystyle \sqrt 2\) hosszú úton elérhetőek, egy \(\displaystyle A\) középpontú \(\displaystyle \sqrt 2\) sugarú körcikk pontjai, és ugyanez igaz az \(\displaystyle ABFE\) lapon keresztül legfeljebb \(\displaystyle \sqrt 2\) hosszú úton elérhető pontokra is. A feladatunk a továbbiakban az, hogy a körcikkek uniójának \(\displaystyle EFGH\) lappal közös részének területét meghatározzuk.
Egészítsük ki az előző ábrát:
A keresett \(\displaystyle EFPH\) síkidom területét úgy célszerű kiszámolni, hogy \(\displaystyle AA'FPH\) síkidom területéből levonjuk az \(\displaystyle AEH\Delta\), \(\displaystyle A'EA\Delta\), \(\displaystyle \ A'FE\Delta\) háromszögek területét, ez utóbbi háromszögek területe egyaránt \(\displaystyle \frac{1}{2} \ km^2 \). Bontsuk fel az \(\displaystyle AA'FPH\) síkidom területét két körcikkre és egy háromszögre az ábrán látható módon. Vegyük észre, hogy \(\displaystyle AP\) és \(\displaystyle A'P\) is egy-egy sugár, emiatt hosszuk \(\displaystyle \sqrt 2\), ugyanúgy, ahogy az \(\displaystyle AA'\) négyzetátlónak is. Tehát az \(\displaystyle AA'P\) háromszög szabályos. Mivel egy szabályos háromszög magassága az oldalának \(\displaystyle \frac{\sqrt 3}{2}\)-szerese, az \(\displaystyle AA'P\) háromszögnek a területe \(\displaystyle t_\triangle=\frac{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt 3}{2}}{2}=\frac{\sqrt 3}{2} \text{ km}^2\).
Térjünk rá a két körcikkre. Mivel \(\displaystyle AA'\) és \(\displaystyle AH\) merőleges egymásra, az \(\displaystyle AA'P\) háromszög pedig szabályos, ezért \(\displaystyle HAP\sphericalangle=90^\circ-60^\circ=30^\circ\). Az \(\displaystyle APH\) körcikk területe tehát \(\displaystyle T_{cikk}=\sqrt 2^2\pi\cdot \frac{30^\circ}{360^\circ}=\frac{\pi}{6} \text{ km}^2\). Egybevágóság miatt az \(\displaystyle A'FP\) körcikk területe szintén ennyi.
Összegezve:
\(\displaystyle \displaystyle{T_{EFPH}=T_{AA'FPH}-3\cdot\frac{1}{2}=2\cdot \frac{\pi}{6}+\frac{\sqrt 3}{2}}-\frac{3}{2}=\frac{\pi}{3}+\frac{\sqrt 3}{2}-\frac{3}{2} \text{ km}^2.\)
A kecske három lapot legel le teljesen, három lapból pedig az előbb kiszámolt területnyit, emiatt az általa lelegelt összterület:
\(\displaystyle T_\text{lelegelt}=3+3\cdot\bigg(\frac{\pi}{3}+\frac{\sqrt 3}{2}-\frac{3}{2}\bigg)\approx4,2397 \text{ km}^2.\)
Ez a teljes felszínnek a \(\displaystyle \frac{4,2397}{6}\approx0,7066\) része.
Statisztika:
A C. 1895. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2026. márciusi matematika feladatai