A C. 1897. feladat (2026. március)

C. 1897. Egy szabályos \(\displaystyle n\)-szög csúcsai közül kiválasztunk három csúcsot úgy, hogy bármely három csúcs kiválasztása egyenlően valószínű. Igazoljuk, hogy ha \(\displaystyle n\) páros, akkor háromszor akkora eséllyel lesz a csúcsok alkotta háromszög tompaszögű, mint hegyesszögű.

Javasolta: Ujházy Márton (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2026. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Megoldásunk első lépéseként találjunk egy módot arra, hogy össze tudjuk számolni a megfelelő tompaszögű háromszögeket.

Ehhez válasszunk ki először egy csúcsot a szabályos \(\displaystyle n\)-szög csúcsai közül (jelöljük ezt \(\displaystyle P\)-vel), és vizsgáljuk meg, hány olyan tompaszögű háromszöget készíthetünk az \(\displaystyle n\) csúcsból, melynek \(\displaystyle P\)-ben hegyesszöge van.

Ha \(\displaystyle P\) átellenes pontja is a háromszög három csúcsai között van, a Thalész-tétel megfordítása szerint a kapott háromszög derékszögű, így nem lehet tompaszögű (1. ábra).

1. ábra

Ha a háromszög \(\displaystyle P\)-n kívüli két csúcsa a körülírt kör \(\displaystyle P\)-n átmenő átmérőjének ugyanazon az oldalán van, akkor biztosan tompaszögű háromszöget kapunk, mivel a "középső" szöghöz tartozó íve a körülírt körnek biztosan nagyobb, mint a félkör. Ekkor az is igaz, hogy a \(\displaystyle P\) csúcsnál lévő szög hegyesszög, hiszen nem \(\displaystyle P\) a háromszög tompaszögű csúcsa. Tehát az összes ilyen ponthármast számolnunk kell: az átmérő mindkét oldalán \(\displaystyle \frac{n-2}2\) csúcsból választhatunk ki kettőt, tehát \(\displaystyle 2\binom{\frac{n-2}2}2\) ilyen ponthármas van (2. ábra).

2. ábra

Ha a háromszög \(\displaystyle P\)-n kívüli két csúcsa az átmérő két különböző oldalán van, és \(\displaystyle P\)-nél hegyesszöge van, akkor a másik két csúcsnál is biztosan hegyesszög van (hiszen mindkét szöghöz tartozó íve a körülírt körnek kisebb, mint a félkör), így a háromszög nem lehet tompaszögű (3. ábra).

3. ábra

Tehát azt láttuk, hogy pontosan \(\displaystyle 2\binom{\frac{n-2}2}2\) olyan ponthármas van, mely egy olyan tompaszögű háromszöget határoz meg, melynek egyik hegyesszöge \(\displaystyle P\)-ben van. Ha ezt összeadjuk mind az \(\displaystyle n\) lehetséges \(\displaystyle P\) pontra, azt kapjuk, hogy \(\displaystyle 2n\binom{\frac{n-2}2}2\) tompaszögű háromszöget kaphatunk, de ekkor minden lehetséges tompaszögű háromszöget pontosan kétszer számoltunk (hiszen pontosan két hegyesszögük van), így a ponthármasok közül pontosan \(\displaystyle n\binom{\frac{n-2}2}2\) határoz meg tompaszögű háromszöget.

Számoljuk meg azt is, hány ponthármashoz tartozik derékszögű háromszög. A Thalész-tétel és megfordítása értelmében ezek pontosan azok a ponthármasok, melyek tartalmaznak egy átellenes pontpárt. Az átellenes pontpárt \(\displaystyle \frac n2\)-féleképpen választhatjuk ki, a harmadik pontot pedig \(\displaystyle n-2\)-féleképpen, tehát pontosan \(\displaystyle \frac n2(n-2)\) olyan ponthármas van, amelyhez derékszögű háromszög tartozik.

Az összes, azaz \(\displaystyle \binom n3\) darab ponthármashoz egyértelműen vagy hegyesszögű, vagy derékszögű, vagy tompaszögű háromszög tartozik, tehát a maradék \(\displaystyle \binom n3-\frac{n}2(n-2)-n\binom{\frac{n-2}2}2\) ponthármas hegyesszögű háromszöget határoz meg.

\(\displaystyle n\binom{\frac{n-2}2}2=n\frac{\frac{n-2}2\cdot\frac{n-4}2}2=\frac{n(n-2)(n-4)}8\)

\(\displaystyle \binom n3-\frac{n}2(n-2)-n\binom{\frac{n-2}2}2=\frac{n(n-1)(n-2)}6-\frac{n(n-2)}2-\frac{n(n-2)(n-4)}8=\frac{n(n-2)}{24}\left(4(n-1)-12-3(n-4)\right)=\frac{n(n-2)(n-4)}{24}\)

A keresett valószínűségek aránya ezek alapján

\(\displaystyle \frac{\binom{\frac{n-2}2}2}{\binom n3} : \frac{\binom n3-n\frac{n-2}2-n\binom{\frac{n-2}2}2}{\binom n3}=\frac{\frac{n(n-2)(n-4)}8}{\frac{n(n-2)(n-4)}{24}}=3,\)

tehát valóban pont háromszor akkora eséllyel lesz a háromszög tompaszögű, mint hegyesszögű.

A megoldás során kihasználtuk, hogy \(\displaystyle \binom{\frac{n-2}2}2\) és \(\displaystyle \binom n3\) értelmes binomiális együtthatók, de ez következik abból, hogy \(\displaystyle n\) \(\displaystyle 2\)-nél nagyobb (hiszen létezik szabályos \(\displaystyle n\)-szög) és páros.

Statisztika:

A C. 1897. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2026. márciusi matematika feladatai